무한 원숭이 정리

無限猿猩이 定理 / infinite monkey theorem

아무리 불가능해 보이는 일이라도, 극소의 개연성을 지닌 확률이라도 존재한다면 이를 무한히 시도할 때 이루어질 가능성을 부정할 수 없다는 이론이다.

이 이론의 기본 발상은 조너선 스위프트의 걸리버 여행기에서부터로 보인다. 이 소설에서 한 교수가 학생들에게 인쇄 기계로 무작위한 문자열을 계속 만들게 함으로써 모든 과학 지식의 목록을 작성하려고 한다.

이후 걸리버 여행기의 국제적 인기에 의해 프랑스의 에밀보렐이 1913년 논문을 통해 "원숭이에게 타자기를 줘서 그걸 두들기게 한다면, 언젠가는 프랑스 국립 도서관에 있는 모든 책과 동일한 내용을 쳐낼 수 있다"라는 이야기가 생겨난다. 정확한 내용은 "백만 마리의 원숭이가 매일 10시간씩 타자를 친다고 해서, 프랑스 국립 도서관에 있는 모든 책을 완전히 동일하게 만들어낼 수는 없을 것 같지만, 그렇다고 해서 그것이 가능하다는 확률을 부정할 수는 없다"는 것.

이 이야기가 영국쪽으로 넘어가게 되고 아서 에딩턴에 의해 프랑스 국립 박물관이 아니라 영국 박물관으로, 이후 사람들에 의해 셰익스피어의 희곡 전집을 칠 수 있다는 내용으로 바뀌었다.

이후 저 내용이 70년대 무한론과 얽히면서 '백만 마리'와 '10시간' 부분이 '무한'으로 바뀌었고, 더 나아가서는 가능성을 부정 못하는 걸 넘어서 거의 확실하게 '칠 수 있다.'는 내용이 되어버렸다.

현대의 대중매체에서는 일론 머스크대개 절대로 불가능해 보이는 일이라도 일말의 가능성이라도 있다면 절대로 불가능한 게 아니라는 뜻으로 쓰인다.

이에 대한 간단한 증명이 존재한다. 2가지의 사건이 확률적으로 독립이라면(두 가지 사건은 서로의 결과에 영향을 주지 않는다) 두가지 사건이 동시에 일어나는 확률은 두가지 확률의 곱과 같다. 이때 특정 확률이 0이 아니라는 것이 이 사건들, 즉 각 타자기의 자판을 치는 사건들에 대한 전제이므로 아래와 같은 형식으로 0이 아님을 보일 수 있다. 일반화하면 $p^n > 0$은 $p>0$에 동치임이고 이는 자명하다.

타자기가 50가지 키가 있다고 하고 입력되어야 하는 단어는 banana라고 할 때 b를 칠 확률은 $\dfrac{1}{50}$이며, 2번째에 a를 칠 확률은 역시 $\dfrac{1}{50}$이고, 나머지 다른 문자들도 이와 같다.

따라서 banana라는 단어를 입력할 확률은 $\left(\dfrac{1}{50}\right)^6=\dfrac{1}{50^6}$이다. 반면 단어 banana를 입력하지 못할 확률은 $1-\dfrac{1}{50^6}$이다. 각 사건은 독립이기 때문에, 글자 n개를 연속으로 치고 banana를 한 번도 입력하지 못할 확률은 $X=\left(1-\dfrac{1}{50^6}\right)^n$이다.

$n$이 커질수록 $X$는 작아진다. $n$이 백만일 때 $X \approx 99.99\%$이지만, n이 백억이 되었을 때는 $X \approx 53\%$이며, 천억이 되었을 때는 $X \approx 0.17\%$이다. 위와 같이 $n$이 무수히 커질수록 $X$의 값은 0에 근접한다.

위의 증명과 같이 무한히 많은 원숭이가 최소한 1단어를 칠 수 있다는 의견이 있다. $n$마리의 원숭이가 6개의 알파벳으로 구성된 특정 단어를 하나도 입력하지 못할 확률은 $X=\left(1-\dfrac{1}{50^6}\right)^n$이다. 천억 마리의 원숭이가 있다고 할 때 확률은 $X \approx 0.17\%$로 떨어지며, 원숭이의 숫자인 $n$이 무수히 커질 경우에는 원숭이가 목표하는 단어를 입력하지 못할 확률은 0에 가까워진다.

위의 증명법에 따라 진짜로 원숭이가 셰익스피어의 희곡을 칠 확률을 알아보자.

일단 셰익스피어의 희곡에 나올 만한 글자들을 모두 모아보면, 알파벳 대·소문자, 숫자, 큰 따옴표(“ ”), 작은 따옴표(‘ ’), 마침표(.), 쉼표(,), 물음표(?), 느낌표(!) 등으로 모두 70자이다.

셰익스피어의 희곡은 14편이고, 한 책은 약 400페이지라고 하고, 한 페이지당 약 3600개의 문자로 계산하면, 셰익스피어 희곡 전체의 글자는 대략 20,000,000자가 된다.

위의 공식에 따라 원숭이 한 마리가 70개의 문자 중 하나를 무작위로 골라 20,000,000자의 희곡을 입력할 가능성은 $\dfrac{1}{70^{20000000}}$에 불과하다. 이는 매우 희박한 가능성이지만 0%는 아니므로, 만약 '무한히 많은'[1] 원숭이가 준비되어 있다면 실제 확률은 1 - (1-$\dfrac{1}{70^{20000000}}$)^∞가 된다. 이 결과값은 언뜻 보기에는 0으로 생각될 수 있으나, 앞에서 본 예시들에서 알 수 있듯이 점차 1에 근접하기 시작한다. 이가 시사하는 바는, 충분히 많은 원숭이와 충분히 오랜 시간이 있다면, 확률적인 관점에서는 거의 확실하게[2] 희곡을 완성할 것이라는 점이다.

위 증명의 전제조건은 원숭이는 모든 글쇠를 누를 수 있고, 임의의 순서에 누르는 글쇠는 서로 독립이라는 것이다. 예를 들어 위의 사진과 같이 한 번에 하나의 글쇠를 눌러야 한다는 사실을 모르는 원숭이를 데려오자. 이 원숭이가 B를 눌렀을 때, 그 다음으로 누르는 글쇠가 인접한 위치에 있는 V, G, H, N 중 하나일 확률은 4/50보다 압도적으로 높다. 혹여나 오른손으로 B 주변을 눌러서 마지막 글자가 B이고, 그 다음 기적적으로 왼손으로 A를 눌렀을 때, 그 다음이 A와 인접한 Q, W, S, X, Z 중 하나일 확률은 100%에 가깝다. 물론 이렇게 되도 아주 희박한 확률로 가능하다라는 본 뜻이 바뀌지는 않으나 그래도 조건이 있을때와는 다르게 사실상 불가능이라고 느낄수 밖에 없다.

2002년 미국 플리머스 대학교에서 실제 원숭이 6마리와 컴퓨터 1대로 실험을 한 결과, 한 달 동안 만들어진 겨우 5페이지짜리 문서에는 s로 가득차 있었으며, 간간히 a나 j, l, m이 보였다고 한다. 게다가 대장 원숭이는 돌로 키보드를 공격하고, 나머지는 키보드에 똥을 싸는 행위를 보였다. 원문은 아래와 같이 생겼다.[출처]

[Notes Towards the Complete Works of Shakespeare]

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수학에 등장하는 정규수와 관련이 있다.