원주율

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1. 개요

1. 개요[편집]

원주율(圓[周率), 파이(

\pi

, pi)는원의 지름에 대한 원주(원둘레)의비율을 뜻하며, 그 값은 약 3.14[1]이다.[2]

원주율을 알고 있다면 원의 둘레의 길이를 구하기 위해 힘들게 줄자를 사용할 필요가 없다. 지름의 길이를 구해서 지름의 길이에 원주율을 곱하면 되기 때문이다. 같은 원리로 원주율은 수학, 과학 및 공학의 여러 분야에서 계산을 편리하게 하기 위한 도구로 쓰인다. 보통 지름보다는 반지름을 더 많이 사용하므로 반지름의 2배에 원주율을 곱해서 계산한다고 표현(

2\pi r

)하기도 한다. 예를 들어 지름이

1\,\rm cm

인 원의 둘레의 길이는

3.1415\cdots\cdots\,\rm cm

이고, 지름이

2\,\rm cm

인 원의 둘레의 길이는

6.2831\cdots\cdots\,\rm cm

이다. 그리스 문자

\pi

로 표시하는데, 한국 발음으로는 파이[3]이며, 그리스어로 '둘레'를 뜻하는 페리메트로스(περίμετρος)의 첫 글자 π에서 땄다고 한다(원주율을 시각화하면 왜 둘레인지 알 수 있다설명영상) 최초로 원주율을

\pi

로 표기한 사람은 웨일스의 수학자 윌리엄 존스로[4], 자신의 저서에

\pi

를 사용하였다. 이후 레온하르트 오일러에 의해 대중화되었다.

원주율은 순환하지 않는 무한소수인 무리수이자[5] 초월수이다. 즉 단순한 3도, 3.14도, 3.1414...나 3.1444... 같은 유리수도, 3.141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13... 또는 3.14 15 16 17 18 19 20...같은 진법 등의 조건상 규칙이 있는 무리수도 아니라는 것이다[6]. 물론 좀 가다 보면 파인만 포인트가 나오기는 하지만 일시적일 뿐이다. 원주율이 무리수라는 것은 고등학교 수준으로도 충분히 이해 가능한 증명이 있다. 그러나 소수(수론)처럼 원주율의 수열이 완전한 무작위성을 보이는지는 증명되지 않았다.

무리수 증명
- 람베르트 증명
- 니벤의 증명
  - 니벤의 논문 [7]
  - 증명의 아이디어 자체는 간단하다.
    귀류법을 이용하여 $\pi=\dfrac pq$ 라는 유리수라고 가정한 뒤, $f(x)=\dfrac{x^n(p-qx)^n}{n!}$ 이라는 함수와 이 함수로부터 유도된 $\displaystyle F(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k f^{(2k)}(x)$ 를 이용하여 모순을 유도하는 것.
    $F(0)+F(\pi)$ 를 계산해보면 정수가 나와야 하며, 이 값은 $\displaystyle \int_0^\pi f(x) \sin x {\rm d}x$ 가 되는데, 두 함수 $f(x)$ 와 $\sin x$ 가 0 이상인 구간 $(0,\pi)$ 에서 곱해진 것을 적분한 것이므로 $\displaystyle 0 < \int_0^\pi f(x) \sin x {\rm d}x \leq$ $\,\,\sup$ $\,f(x) \times \sup{\sin x}\times \pi$ 라는 관계식이 성립하게 된다. 그런데 이 관계식의 가장 우측항은 $n\to\infty$ 의 극한을 취하면 0으로 수렴, 즉 1보다 작게 된다는 걸 보일 수 있는데, $0$ 보다 크면서 1보다 작은 정수는 없다. 따라서 $\pi=\dfrac pq$ 라고 가정한 전제가 틀렸으므로 $\pi$ 는 무리수다.
초월수 증명
- 린데만-바이어슈트라스 정리를 이용한 증명 [8]
  - 초월수 증명 자체는 간단하다. 귀류법을 사용하는데, 먼저 $\pi$ 가 대수적인 수라고 가정하자. 그러면 $i\pi$ 역시 0이 아닌 대수적인 수다. 그러면 린데만-바이어슈트라스 정리에 따라 $e^{i\pi}$ 는 초월수여야 한다. 하지만 오일러 등식에 따라 $e^{i\pi}$ 는 대수적 수인 $-1$ 이다. 이는 모순이므로, 따라서 $\pi$ 가 대수적인 수라고 가정한 전제가 틀렸다는게 된다. 따라서 $\pi$ 는 초월수다.

[1] 3.1415926535897932384626433... 로 이어지는 무한소수이다.[2] 사족으로, 루트 10의 값이 3.162277660...으로, 원주율보다 근소하게 더 크다. 즉, 파이의 제곱은 약 9.896044... 로, 10보다 작다. 작은 분모의 근삿값은

\dfrac{22}{7}

, 큰 건

\dfrac{100000}{31831}

역시나 제시된다.[3] 영어식으로 발음했을 때나 '파이'이지, 원어인 그리스어 발음으로는 '삐'(외래어 표기법으로는 '피')다. 그러나 그리스 문자 가운데한국어 기준으로 같은 표기인 글자(Φ|φ)가 따로 있기 때문에 유의해야 한다.[4] 인도유럽어족 연구의 시초가 된 그 윌리엄 존스의 아버지다.[5] 중2 수학 문제 중에서는 보기에

\pi

를 적어놓은 후 '다음 중 순환하지 않는 무한소수를 적으시오' 라는 문제가 단골이다.[6] 다만 이렇게 진법으로 뒀을 때 규칙이 보이는 수도 얼마든지 무리수가 될 수 있다. 실제로 최초로 증명된 초월수는 리우빌 상수라는 것으로, 이런 식으로 진법상에서의 규칙성을 주되, 실제로는 반복되는 일이 없는 무한소수로 구성된다. 그 외에도 챔퍼나운 상수가 정확하게 이런 형태.[7] 딱 한 장이다.[8] 린데만-바이어슈트라스 정리는 유리수체 위에서 0이 아닌 서로 선형독립적인 유한 개의 대수적 수

\{\beta_k\}

에 대해서 역시 같은 수의 대수적 수의 쌍

\{\alpha_k\}

가 존재하여, 대응되는 두 수를 곱한 수

\alpha_k\beta_k

의 합이 0이 아니라면

\alpha_k e^{\beta_k}

의 합 역시 0이 아니라는 정리다. 즉, 유리수체 위의 선형독립적인 원소들로 구성된 집합은,

e

의 거듭제곱 꼴로 바꾸더라도 선형독립적인 원소들로 이루어져 있다는 정리. 또한 여기서 따름정리로

e^a

에서

a

가 0이 아닌 대수적인 수라면

e^a

는 초월수라는 것 역시 알려져 있다.