자연수

$1,\,2,\,3\ldots$와 같이 나아가는, 보통 대상의 개수를 셀 때 나오는 수.

자연수의 집합은 영어 natural number의 첫 글자를 따와 $\mathbb{N}$ 또는 정수의 양수 부분을 뜻하는 $\mathbb{Z}^+$라고 쓴다.

대상의 수효를 세는 것이 수학의 출발이니만큼, 수학의 탄생을 상징하는 가장 기본적인 개념이다. 이러한 맥락에서 수학자 크로네커는 '정수는 자애로운 신이 만들었고, 나머지는 인간의 창작물이다.'[1] 이라는 말을 남기기도 했다.

하지만 이 자연수도 사실 인간의 추상화로 '발명된' 개념이다. ''두 마리의 꿩과 이틀이 자연수 $2$의 예들이라는 것을 발견하는 데까지는 상당한 시일이 걸렸을 것이다."라고 버트런드 러셀이 말한 것처럼[2] 자연수마저도 관념의 표상이지 실제로 존재하는 대상은 아닌 것이다. 보다 심오하게 생각한다면, 수를 세는 것은 사실 일대일대응의 개념을 담고 있고, 여기서 칸토어가 현대적 무한의 개념을 착안했다고 보아도 무리는 아닐 것이다.

중등 교과과정에서는 보통 역사적인 관습을 따라 $0$을 자연수로 치지 않지만,[3] 많은 사람들이 편의성의 문제로 자연수에 $0$을 포함시켜 생각하기도 한다. 폰 노이만 체계를 따르는 수학자들. 물론 이는 무엇이 맞고 틀리는지보다는 서로 다른 관습에 불과하다. 사실, 현대수학적 관점에서 보면 자연수는 기본 원소가 하나 존재하고, 수학적 귀납법이 성립하는 '구조'에 불과하기 때문에 $0$으로 시작하건 $1$로 시작하건 구조적으로는 차이가 없다. 물론, 여기서 말하는 구조란 집합론적 구조를 말하고, 대수적 구조로 접근하면 $0$을 포함하느냐 마느냐는 덧셈과 뺄셈 연산의 항등원을 넣느냐 마느냐의 차이가 생긴다. 물론, $0$을 포함하는 편이 대수적으로 더 의미있는 구조인 모노이드가 되기 때문에, 대부분의 경우 $0$을 자연수 집합에 포함시킨다. 물론 이런다고 곱셈의 역원은 물론 덧셈의 역원조차 없다는 설움이 어디 가진 않지만은. 어쨌든 이런 사소한 애매함을 피하고자 수학자들은 자연수보다는 양의 정수(positive integer, 0 미포함) 및 음이 아닌 정수(nonnegative integer, 0 포함)의 용어를 주로 사용하는 편이다.