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전류

분류
1. 개요2. 전류의 수학적 정의3. 전자기학의 연속 방정식
3.1. 정상 전류
4. 옴의 법칙
4.1. 상세4.2. 정전기적 평형 상태의 도체4.3. 예외

1. 개요[편집]

전류(電流, electric current)는 전하의 흐름으로, 단위 시간동안 어떤 단면적을 통과한 전하의 양을 나타내는 개념이다. 세기의 단위는 A\mathrm{A}(암페어, ampere), 차원은 I\sf I[1]이다.

과거 전류 1 A1 \,\mathrm{A}는 이상적이고, 매우 긴 두 도선이 1 m1\, \mathrm{m} 떨어져있을 때, 2×10−7 N2\times 10^{-7}\,\mathrm{N}의 인력 혹은 척력을 발생시키는 전류로 정의되었으나, 2018년 국제도량총회에서 전류의 정의가 아래와 같이 바뀌었다.
전자의 전하량이 e=1.602 176 634 8×10−19 A⋅s\boldsymbol{e=1.602\,176\,634\,8 \times 10^{-19}\,\bf A\boldsymbol{\cdot}s}가 되도록 하는 전류

2. 전류의 수학적 정의[편집]

전도 매질은 전하가 자유롭게 움직일 수 있는 매질이다. 또한, 전도 매질은 많은 수의 유동 전하가 있는 매질이다. 이 유동 전하에서는 전자, 양공, 양이온 등이 포함된다. 이제부터 이러한 매질 내에서 전하 QQ를 운반하는 매질 내의 특별한 입자에 대해서만 생각해보자. 이들의 평균 유동 속도[2]는 ⟨v⟩\langle \mathbf{v} \rangle라 가정하자. 거시적으로는 이들이 연속적이라 가정한다. 이러한 전하가 dtdt라는 시간 간격 동안 dad \mathbf{a}의 미소 면적을 통과한다고 가정해보자. 이때, 이러한 전자의 농도가 nn이라 가정하면, 이러한 면적을 지나간 전하의 수[3]는 농도와 부피의 곱으로 구할 수 있다. 즉,

dQ=qn⟨v⟩⋅da dt\displaystyle dQ=qn \langle \mathbf{v} \rangle \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}\,dt

라 쓸 수 있을 것이다. 이때, 전류는 단위 시간 당 단면적을 지나간 전하의 수이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

dQdt=dI=qn⟨v⟩⋅da\displaystyle \frac{dQ}{dt}=dI=qn \langle \mathbf{v} \rangle \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}

이때, qn=ρqn =\rho로 전하 농도가 된다. 왜냐하면, nn 자체는 단위 부피 당 운반자의 개수를 나타내고, 여기에 전하량을 곱하는 순간, 단위 부피 당 전하가 되기 때문이다. 이것을 이용하면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

dI=ρ⟨v⟩⋅da\displaystyle dI=\rho \langle \mathbf{v} \rangle \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}

한 운반자만을 고려하고 있지만, 매질 내에 여러 종류의 운반자가 존재할 수도 있다. 이런 경우, 다음과 같이 쓸 수 있을 것이다.

dI=[∑iρi⟨vi⟩]⋅da\displaystyle dI=\left[ \sum_{i}\rho_{i} \langle \mathbf{v}_{i} \rangle \right] \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}

이제 위의 대괄호 항을 전류 밀도(Current density)라 정의할 것이다. 즉,

J≡∑iρi⟨vi⟩\displaystyle \mathbf{J} \equiv \sum_{i}\rho_{i} \langle \mathbf{v}_{i} \rangle

따라서 전류를 다음과 같이 정의할 수 있다.

I=∬SJ⋅da\displaystyle I=\iint_{S} \mathbf{J} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a}

따라서 전류 밀도는 단위 면적을 지나는 전류라 볼 수 있을 것이며, SI 단위계에서 흔히 A/m2\mathrm{A/m}^{2}의 단위로 쓰게 된다.

3. 전자기학의 연속 방정식[편집]

이제부터 전하의 국소 보존에 대해 논의할 것이다. 전하는 보존되어야 하므로 임의의 부피 영역 VV에서 유출된 전하의 양은 부피 영역을 둘러싸는 폐곡면 SS을 통과하는 전하와 같아야 할 것이다. 따라서 폐곡면 SS를 통과하는 전하량을 아래와 같이 구할 수 있다.

∯SJ⋅da\displaystyle \oiint_{S} \mathbf{J} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a}

으로 구할 수 있다.[4][5] 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

∯SJ⋅da=−dqdt\displaystyle \oiint_{S} \mathbf{J} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a}=-\frac{dq}{dt}

이때, qq는 부피 영역 내에 있는 전하를 의미함에 유의해야 한다. 따라서 qq를 전하밀도의 항으로 쓰면,

∯SJ⋅da=−ddt∭Vρ dV=−∭V∂ρ∂t dV\displaystyle \oiint_{S} \mathbf{J} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a}=-\frac{d}{dt}\iiint_{V} \rho\,dV=-\iiint_{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\,dV

발산 정리를 사용하면,

∭V(∇⋅J) dV=−∭V∂ρ∂t dV\displaystyle \iiint_{V} (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{J} )\,dV=-\iiint_{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\,dV

따라서 다음의 연속 방정식이 도출되게 된다.

∇⋅J+∂ρ∂t=0\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0

즉, 어떤 부피 영역 내에서의 전하 밀도의 시간 변화율은 그 부피 영역을 둘러싸는 폐곡면을 통해 유출되는 전하 밀도와 같음을 나타낸다.

만약, 다루는 매질 영역 내에 유전체가 있다면, 전류 밀도 J\mathbf{J}는 외부 전류 밀도 Jf\mathbf{J}_{f}와 구속된 전하에 의한 전류 밀도 Jp\mathbf{J}_{p}의 합으로 쓸 수 있을 것이다. 또한, 전하 밀도 ρ\rho 또한, 외부 전하 밀도 ρf\rho_{f}와 구속된 전하에 의한 전류 밀도 ρp\rho_{p}의 합으로 쓸 수 있을 것이다. 따라서 위에서 구해진 연속 방정식을 이용하면,

∇⋅(Jf+Jp)+∂∂t(ρf+ρp)=0\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} (\mathbf{J}_{f}+\mathbf{J}_{p})+\frac{\partial }{\partial t}(\rho_{f}+\rho_{p})=0

그런데, Jp\mathbf{J}_{p}는 구속된 전하들의 운동 때문에 생겨나고, 전기 변위장 문서를 통해 이들을 편극 밀도 P\mathbf{P}로 취급할 수 있었음을 논의했다. 따라서

Jp=∂P∂t\displaystyle \mathbf{J}_{p}=\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}

으로 쓸 수 있고, 전기 변위장 문서에서

ρp=−∇⋅P\displaystyle \rho_{p}=-\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{P}

임을 알 수 있었다. 따라서 이 두 식을 이용하면, 아래의 두 식을 얻을 수 있음을 알 수 있다.

∇⋅Jf+∂ρf∂t=0∇⋅Jp+∂ρp∂t=0\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}_{f}+\frac{\partial \rho_{f}}{\partial t}=0 \qquad \qquad \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}_{p}+\frac{\partial \rho_{p}}{\partial t}=0

3.1. 정상 전류[편집]

정상 전류(Steady current)는 위의 연속 방정식에 대해 다음을 만족하는 전류이다.

∂ρ∂t=0\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}=0

이것은 곧, 어느 지점에서 전하가 쌓이지 않는 다는 말과 같다. 즉, 어떤 부피 영역으로 부터 전하가 유출되면, 그 유출된 전하만큼 다시 전하가 유입된다는 말이다. 따라서 정상 전류의 조건을 다음과 같이 쓸 수도 있다.

∇⋅J=0\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}=0

자기장 문서 혹은 그와 관련된 문서에서 다루는 것은 정자기학이다. 이 정자기학은 정상 전류라는 가정을 깔고 시작하니, 이 점 참고한다.

4. 옴의 법칙[편집]

대부분의 전도체에서 매질의 두 경계면의 전위차와 이들 사이에 흐르는 전류 간에는 간단한 선형 관계가 있고, 그것을 옴의 법칙(Ohm's law)[6]이라 한다. 옴의 법칙은 다음과 같다.

J=σcE\displaystyle \mathbf{J}=\sigma_{c}\mathbf{E}

즉, 전류 밀도는 전기장에 비례하고, 그 비례 상수가 전기 전도도 σc\sigma_{c}임을 나타낸다. 또한, 이 전기 전도도의 역수 σc−1≡ρ \sigma_{c}^{-1} \equiv \rho는 보통 비저항이라 부른다. 사실 본래 전기 전도도는 상수가 아니라, 텐서이다. 그러나 여기서는 초급적인 전자기학을 다루고 있기 때문에 전기 전도도는 상수라 취급하기로 한다. 전기 전도도의 단위는 SI 단위계에서 (Ω⋅m)−1(\Omega \boldsymbol{\cdot} \mathrm{m})^{-1}이다.

만약, 전도체가 옴의 법칙을 만족하고, 전류가 상수인 단면적 AA에 흐르고, 전도체의 길이 LL이 상수라면, 매질 내에서 J\mathbf{J}와 E\mathbf{E}는 상수가 되고,

I=JA\displaystyle I=JA

로 쓸 수 있다. 만약 전도체 사이의 전위차가 VV라면, E=V/LE=V/L이다. 옴의 법칙을 쓰면, J=σcEJ=\sigma_{c}E이므로 이것들을 모두 사용하면,

I=σcALV\displaystyle I=\frac{\sigma_{c}A}{L}V

이때, 여기서 나온 항

R≡LσcA\displaystyle R \equiv \frac{L}{\sigma_{c}A}

을 전기 저항이라 하고, 단위는 Ω\Omega(Ohm)이다. 더군다나, 전도도의 역수를 비저항이라 쓸 수 있었으므로 여기서 전기 저항의 관계가 나오게 된다.

R=ρLA\displaystyle R = \rho \frac{L}{A}

따라서 이것을 이용하면, 옴의 법칙을 다음과 같이 쓸 수 있음을 얻는다.

V=IR\displaystyle V=IR

이 형태가 사실은 널리 쓰이는 형태이고, 처음으로 제시된 것이 옴의 법칙에 대한 오리지널이긴 하지만, 전자기학과 관련된 전공[7]을 하지 않는 이상은 별로 마추칠 일은 없다. 여담으로 전압계는 전류계와 옴의 법칙을 이용하면 만들 수 있다.[8]

4.1. 상세[편집]

그림과 같은 단면적이 AA인 직육면체 저항기(resistor)가 있다. 단면 AA에 위치한 저항기 내 자유전자가 전압 VV를 받아 평균속도 vd v_d로 수렴하며 그림과 같은 방향 즉, (+)(+) 전극 방향으로 이동했다고 하자.

파일:namu_전류_저항체.svg

자유전자의 평균속도는 회로에 걸린 전압에 비례하고 저항기의 길이에 반비례하게 되므로

vd∝VL v_d \propto \displaystyle\frac{V}{L}

의 관계가 성립하고 전자의 이동도(electron mobility) μn \mu_n 을 비례상수로 두면

vd= μnVL v_d = \displaystyle\ \mu_n \frac{V}{L}

로 나타내어진다.

저항기에 흐르는 전류는 전하량을 q q , 저항기 내 단위부피당 전자의 수, 즉 자유전자밀도(free electron density)를 n0 n_0 라 할 때, 전류 I I 는 단위시간당 전하가 이동한 총량이므로 자유전자가 이동한 부분의 부피 qAvdq A v_d와 자유전자의 밀도를 곱하면 얻는다. 즉,

I=qAvdn0 I = q A v_d n_0

이고, 위에서 유도된 vd v_d 관계식에 의해

I=qAn0μnVL I = q A n_0 \mu_n \dfrac{V}{L}

이 성립한다. 식을 정리하면

I=qn0μn⋅VL⋅V I = q n_0 \mu_n \cdot \dfrac{V}{L} \cdot V

이고 여기서 V∝IV \propto I의 관계를 얻는다.

전기 전도율 G=1/R G={1/R}에 대하여 G=qμnn0(A/L)G = q \mu_n n_0 (A/{L})이라 두면,

I=GV=VR \displaystyle I=GV=\frac{V}{R}

가 성립하고 이것은 위에서 유도된 옴의 법칙과 같다.

특히, qμnn0 q \mu_n n_0 를 도전율(conductivity) σ\sigma라 하고 σ−1=ρ\sigma ^{-1}=\rho를 비저항 또는 저항률(resistivity)이라 하며, 여기서 저항 RR와 전기 전도율 GG를

R=1σLAG=σAL\displaystyle \begin{aligned} R&=\frac{1}{\sigma } \frac{{L}}{A} \\ G&={\sigma } \frac{A}{{L}} \end{aligned}

로 각각 나타낼 수 있다. 이 식은 전압과 전류와의 관계에서 비례상수인 저항이 도전율 등에 의해 어떻게 결정되는지를 보여준다.

참고로 여기서 유도된 공식은 가장 간단한 형태의 저항체를 가정하여 유도된 것이고 향후 반도체 공학 등에서 더 자세하게 다루게 된다. 위에서 전자의 평균속도가 vd v_d로 수렴한다고 표현한 것은 전자가 전압을 받아 속도가 증가하며 일정 속도에 도달한 이후 원자핵과의 상호작용으로 에너지를 방출하여 속도를 잃었다가 다시 전압에 의해 에너지를 얻어 움직이는 과정을 반복하기 때문이다.[9] 이는 곧 저항체 내에서의 에너지 방출과 관련되게 되고 궁극적으로 실리콘 반도체가 대세가 된 이유로까지 이어진다.

4.2. 정전기적 평형 상태의 도체[편집]

전기장 문서에서 정전기적 평형 상태의 도체에는 내부에 전하가 존재할 수 없다고 했다. 따라서 이 문단에서는 도체 내부의 전하가 중성화 되고, 도체 표면으로 나오는데까지 걸리는 시간을 논의하고자 한다. 도체가 옴의 법칙을 만족하고, 전기 전도도가 상수라면, J=σcE\mathbf{J}=\sigma_{c} \mathbf{E}를 만족할 것이다. 따라서 이때의 연속 방정식을 쓰면,

σc∇⋅E=−∂ρ∂t\displaystyle \sigma_{c} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}

그런데 정전기장 E\mathbf{E}에 대해

∇⋅E=ρϵ0\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}=\frac{ \rho}{\epsilon_{0}}

따라서 다음과 같은 미분 방정식을 얻는다.

∂ρ∂t+σcϵ0ρ=0\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\sigma_{c}}{\epsilon_{0}} \rho=0

이 방정식의 해는

ρ(t)=ρ(0)exp⁡(−σcϵ0t)\displaystyle \rho(t)=\rho(0)\exp{\left( -\frac{\sigma_{c}}{\epsilon_{0}} t \right)}

따라서 전하밀도가 초기의 e−1e^{-1}이 되는 시간 ϵ0/σc\epsilon_{0}/\sigma_{c}임을 알 수 있고, 이 시간을 이완 시간이라 한다. 따라서 이 이완 시간을 지나게 되면, 도체 내 전하 밀도는 0으로 수렴하고, 이것은 곧 도체 내부의 전하가 존재하지 않고, 모두 표면으로 나오거나 중성화되었음을 의미한다.

4.3. 예외[편집]

바일 반금속을 이용한 실험에서 옴의 법칙이 적용되지 않는 사례가 발견되어, 2017년 8월 14일에 네이처 머티리얼스(Nature materials)에 실렸다.

그렇지만 이건 제한적인 것으로, 이 사례에서 옴의 법칙이 적용 안되는 이유가 바로 저항이 일반적 금속에서 발생하는 값보다 상당히 낮게 발생하는 게 밝혀졌기 때문이다. 고비용과 아직 일반적인 온도에서 실현하기 힘든 초전도현상까지는 아니더라도 상당히 낮은 값의 저항값을 가진 금속으로 만들 가능성이 생겼고, 적용이 된다면 상당한 효율 상승을 기대할 수 있다. 당장은 아니더라도 저항으로 인해 효율이 낮아지는 전기 전자분야에서는 기대 할 만한 내용이다.
== 정상 전류와 경계치 문제 ==
이제 매질 간의 정상 전류가 흐를 때의 경계치 조건에 대해서 논의해보도록 할 것이다.
=== 전류 밀도가 따르는 방정식 ===
매질 내에서 전류가 흐르든, 흐르지 않든, 매질 내 정전기장에 대해 다음이 성립함을 알고 있다.

∇⋅E=ρϵ0∇×E=0\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \qquad \qquad \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=0

이제는 논의를 옴의 법칙을 만족하는 물질에 한해서 생각할 것이다. 우선 전기장의 회전은

∇×Jσc=0\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \frac{\mathbf{J}}{\sigma_{c}}=0

으로 바뀌고, 전기장의 발산은

1σc∇⋅J=0\displaystyle \frac{1}{\sigma_{c}} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}=0

이다. 전기 전도도를 상수로 취급(이것에 관해선 "옴의 법칙" 문단에서 주의를 준 바 있다.)하고 있기 때문에 전류 밀도에 대해 다음과 같이 쓸 수 있음을 얻는다.

∇⋅J=0∇×J=0\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}=0 \qquad \qquad \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{J}=0

적분형으로는 다음과 같이 표현할 수 있을 것이다.

∯SJ⋅da=0∮CJ⋅dl=0\displaystyle \oiint_{S} \mathbf{J} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=0 \qquad \qquad \oint_{C} \mathbf{J} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l}=0

적분영역 CC, SS는 각각 어떤 면적 영역을 둘러싸는 폐곡선, 어떤 부피 영역을 둘러싸는 폐곡면을 뜻한다.
=== 경계 조건(boundary condition) ===
파일:나무_전류밀도_경계조건-01.png
윗 문단을 통해

∯SJ⋅da=0\displaystyle \oiint_{S} \mathbf{J} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=0

의 조건을 얻었다. 위 그림과 같이 윗면과 아랫면의 넓이가 AA이고, 높이가 hh인 원기둥에 적용하자. 이때, n^\hat{\mathbf{n}}은 매질 1에서 매질 2로 향한다. h→0h \rightarrow 0의 극한을 사용하면, 옆면에 대한 기여는 없으므로 위 적분의 결과는

J1⋅n^=J2⋅n^\displaystyle \mathbf{J}_{1} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}= \mathbf{J}_{2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}

즉, 전류 밀도의 수직 성분은 경계면을 가로지를 때, 연속이 됨을 알 수 있다. 또한, 전기 퍼텐셜 문서에서 정전기학의 경계 조건을 논할 때, ∇×E=0\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=0을 만족할 때, 전기장의 접선 성분은 경계를 가로지를 때, 연속이 된다고 했다. 즉,

E1⋅t^=E2⋅t^\displaystyle \mathbf{E}_{1} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}= \mathbf{E}_{2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}

옴의 법칙을 만족하는 매질을 다루고 있으므로 위 조건은 다시 쓰면,

J1⋅t^σ1=J2⋅t^σ2\displaystyle \frac{\mathbf{J}_{1} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t} } }{\sigma_{1}}= \frac{\mathbf{J}_{2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t} } }{\sigma_{2}}

임을 나타낸다. 만약, 매질 1이 굉장히 전기 전도도가 좋다고 가정해보자. 즉, 매질 1은 도체로 볼 수 있다. 이 경우 σ1→∞\sigma_{1} \rightarrow \infty이므로 위 조건에 의해

J2⋅t^→0\displaystyle \mathbf{J}_{2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}} \rightarrow 0

이 되고, 옴의 법칙을 만족하는 매질을 다루고 있으므로 결국 위 식은

E2⋅t^→0\displaystyle \mathbf{E}_{2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}} \rightarrow 0

임을 나타낸 것이다. 즉, 정전기학을 다룰 때도 도체 표면의 전기장은 수직해야 한다고 말했으나, 이것이 정상 전류 분석에서도 확인이 된 것이다.
이상을 요약하면, 전류 밀도가 서로 다른 옴의 법칙을 만족하는 매질의 경계면을 가로지를 때의 경계 조건은

J1⋅n^=J2⋅n^J1⋅t^σ1=J2⋅t^σ2\displaystyle \mathbf{J}_{1} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}= \mathbf{J}_{2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}} \qquad \qquad \frac{\mathbf{J}_{1} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t} } }{\sigma_{1}}= \frac{\mathbf{J}_{2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t} } }{\sigma_{2}}

이 된다.
=== 경계치 문제 ===
위에서 경계 조건을 결정했기 때문에 이제 경계치 문제를 논의할 수 있다. 우선 정상 전류 상태를 분석하고 있기 때문에 다음이 성립한다고 했다.

∇⋅J=0\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}=0

옴의 법칙을 만족하는 매질에 한하여 경계치 문제를 생각하고 있기 때문에

J=σc(E+Ee)\displaystyle \mathbf{J}=\sigma_{c}(\mathbf{E}+\mathbf{E}_{e})

로 쓸 수 있다. Ee\mathbf{E}_{e}는 정전기장이 아닌 다른 기전력 등에 의한 전기장이다. 즉, 보존적인 전기장이 아닌 비보존적인 전기장을 말한다. 이것에 대한 보충 설명은 전자기 유도 문서를 참조하라.
보존적인 전기장에 대해

E=−∇Φ\displaystyle \mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla}\Phi

로 쓸 수 있고, 이때, 매질이 옴의 법칙을 만족하므로

∇⋅J=∇⋅[σc(−∇Φ+Ee)]=0\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}=\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} [\sigma_{c} (-\boldsymbol{\nabla} \Phi+\mathbf{E}_{e}) ]=0

위 식을 다시 쓰면,

σc∇2Φ+∇σc⋅∇Φ=∇⋅(σcEe)\displaystyle \sigma_{c} \nabla^{2} \Phi+\boldsymbol{\nabla} \sigma_{c} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla} \Phi= \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} (\sigma_{c}\mathbf{E}_{e})

만약 전기 전도도가 단순하다면, 위 식은

σc∇2Φ=∇⋅(σcEe)\displaystyle \sigma_{c} \nabla^{2} \Phi= \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} (\sigma_{c}\mathbf{E}_{e})

으로 정리된다.
우선적으로 비보존적 전기장(Ee=0\mathbf{E}_{e}=0)이 없는 경우를 고찰해보도록 하자. 이 경우에 위 방정식은

∇2Φ=0\displaystyle \nabla^{2} \Phi=0

으로 정전기학의 경계치 문제와 동일해진다는 것을 알 수 있다. 또한, 경계 조건으로 부터

J1⋅n^=J2⋅n^J1⋅t^σ1=J2⋅t^σ2\displaystyle \mathbf{J}_{1} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}= \mathbf{J}_{2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}} \qquad \qquad \frac{\mathbf{J}_{1} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t} } }{\sigma_{1}}= \frac{\mathbf{J}_{2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t} } }{\sigma_{2}}

이 성립함을 이미 알고, 전기 퍼텐셜은 경계를 가로지를 때, 연속이어야 함에 따라

Φ1=Φ2\displaystyle \Phi_{1}=\Phi_{2}

를 경계면에서 만족해야 한다. 또한, 전류 밀도의 수직 성분의 경계 조건은 아래와 같이 쓸 수 있다.

σ1∂Φ1∂n=σ2∂Φ2∂n\displaystyle \sigma_{1} \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial n}=\sigma_{2} \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial n}

따라서 비보존적인 전기장이 없을 때, 퍼텐셜에 대한 경계 조건을 모두 구했다.
만약 비보존적 전기장이 존재한다면, σcEe≡Je\sigma_{c}\mathbf{E}_{e} \equiv \mathbf{J}_{e}로 쓸 수 있으므로 퍼텐셜에 대한 경계 조건은

Φ1=Φ2σ1∂Φ1∂n=σ2∂Φ2∂n=−(Je2−Je1)⋅n^\displaystyle \begin{aligned} \Phi_{1}&=\Phi_{2} \\ \sigma_{1} \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial n}=\sigma_{2} \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial n} &=-(\mathbf{J}_{e2}-\mathbf{J}_{e1}) \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}} \end{aligned}

이 됨을 알 수 있다.
결국 위 과정으로 부터 정상 전류에 대한 경계치 문제와 정전기학의 경계치 문제는 공통성이 있음을 알 수 있다. 따라서 정상 전류에 대한 경계치 문제는 정전기학의 경계치 문제에서

ϵi→σiDi→Ji=−σi∇Φi\displaystyle \epsilon_{i} \rightarrow \sigma_{i} \qquad \qquad \mathbf{D}_{i} \rightarrow \mathbf{J}_{i}=-\sigma_{i} \boldsymbol{\nabla} \Phi_{i}

그리고,

ρϵ→−∇⋅Jeσϵ→−(Je2−Je1)⋅n^\displaystyle \frac{\rho}{\epsilon} \rightarrow -\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}_{e} \qquad \qquad \frac{\sigma}{\epsilon} \rightarrow -(\mathbf{J}_{e2}-\mathbf{J}_{e1}) \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}

으로 대치함으로써 문제를 풀어낼 수 있음을 얻는다.
=== 관련 예제 ===
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== 줄 발열과 일률 ==
이제 어떤 매질 내의 미소 전하 운반체 dqdq에 가해지는 전기장이 E\mathbf{E}라 가정하고, 이 전기장 때문에 운반체가 dld\mathbf{l}만큼 움직였다고 가정하자. 또한, dq=ρ dVdq=\rho\,dV형태로 쓸 수 있으므로 전기장에 의한 일을

dW=(ρ dV)E⋅dl\displaystyle dW=(\rho\,dV)\mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l}

로 쓸 수 있다. 만약 전하가 dtdt만큼의 시간 동안 dld\mathbf{l}만큼 움직였다면,

dl=⟨v⟩ dt\displaystyle d \mathbf{l}= \langle \mathbf{v} \rangle\,dt

우리가 ⟨v⟩\langle \mathbf{v} \rangle가 전하의 평균 유동 속도라 하면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

dW=ρ⟨v⟩⋅E dVdt\displaystyle dW=\rho \langle \mathbf{v} \rangle \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}\,dVdt

그런데, 전류 밀도의 정의 J≡ρ⟨v⟩\mathbf{J} \equiv \rho \langle \mathbf{v} \rangle을 쓰면,

dW=J⋅E dVdt\displaystyle dW=\mathbf{J} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}\,dVdt

따라서 단위 시간 동안에 한 일은

dWdt=J⋅E dV\displaystyle \frac{dW}{dt}=\mathbf{J} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}\,dV

이고, 따라서 유한한 부피 영역에서 얻어지는 전기장에 의한 일률은

P=∭VJ⋅E dV\displaystyle P=\iiint_{V}\mathbf{J} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}\,dV

로 쓸 수 있음을 얻는다. 만약, 매질이 옴의 법칙을 만족한다면,

P=∭VσcE2 dV\displaystyle P=\iiint_{V}\sigma_{c} E^{2}\,dV

으로 쓸 수 있다. 따라서 이 에너지는 매질의 열원으로 작용하게 하여, 열을 내게 하는 데 이것을 줄 발열(Joule heating)이라 한다. 참고로,

dPdV=J⋅E\displaystyle \frac{dP}{dV}=\mathbf{J} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}

으로 쓸 수 있고, 이것을 일률 밀도라 한다.
서로 반대의 면 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}가 각각 등전위 영역이 되는 경우를 고려해보자. 만약 미소 전하량 dqdq이 전기장 E\mathbf{E}에 의해 미소 시간 dtdt만큼 이동했다면,

dW=dq∫ABE⋅dr\displaystyle dW=dq\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r}

가 된다. 이때,

∫ABE⋅dr≡V\displaystyle \int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r} \equiv V

라 놓고, 전류 I=dq/dtI=dq/dt임을 이용하면,

dW=dWdt dt=IV dt\displaystyle dW=\frac{dW}{dt}\,dt=IV\,dt

로 쓸 수 있으므로 일률을

P=IV\displaystyle P=IV

로 쓸 수 있음을 얻는다. 만약 옴의 법칙을 만족시키는 매질이라면, 일률을 다음과 같이 쓸 수 있다.

P=I2R\displaystyle P=I^{2}R
== 전류와 관련된 여담 ==
=== 전자와 전류 ===
초, 중, 고등학교에서 전기파트를 배울 때 도선에서 전류의 방향이 전자의 이동 방향과 반대인 게 신기하게 느껴졌을 텐데, 이것은 별 건 아니고 금속에서 전자가 전류를 흐르게 한다는 사실이 전류를 정의한 것보다 훨씬 뒤에 발견되었기 때문이다. 원래 전기는 양극에서 음극으로 흐른다고 정의했으나[10] 후에 전자가 음극에서 양극으로 이동한다는게 밝혀졌다.
P형 반도체에선 본래 있던 전자가 이동해 버리면 그 구멍을 채우기 위해 옆에있던 전자가 그 자리를 채우고…해서 전체적으로 보았을 때 양공[11]이 전류를 흐르게 하는 것처럼 보인다.
위의 말을 간단히 설명하자면 공이 한줄로 가득찬 관을 생각해 보자, 왼쪽에서 공을 하나 더 밀어넣으면 동시에 반대편에서 공이 나올 것이다.
이러한 과정들이 연쇄적으로 이루어지기 때문에 스위치를 켜자마자 전기를 사용할 수 있는 것이다. 만일 전자가 전원으로부터 직접 움직여서 전기가 통하는 식이라면 스위치 넣고도 발전소에서 집까지 전기가 오는데 한참 기다려야 한다. 실제로 전자가 도선을 따라 움직이는 평균속도는 그렇게 빠르지 않다. 지름 1 mm1\,\mathrm{mm}인 구리도선에 3 A3\,\mathrm{A}의 전류가 흐른다면 전자의 평균 이동 속도는 고작 0.28 mm/s0.28\,\mathrm{mm/s} 이다. 전자의 순간 속도는 광속에 근접할 만큼 매우 빠르나, 도선 안에서는 도선의 양성자들에 부딪혀 이리저리 튕겨나가 제 속도를 못 내기 때문이다.[12][13] 에너지가 순식간에 전달되는 이유는 전기장이 생기기 때문이다. 달팽이처럼 기어가는 전자의 속력에 비해 전기장은 광속으로 생성되고 퍼진다.
=== 전류의 종류 ===
==== 직류 ====
##앵커 지우지 마십시오. 문단 리다이렉트용임.
직류(Direct current)란 전류가 흐르는 모습 중 하나로, 줄여서 DC라고 부른다.
인류가 전기에 대해 연구하면서 처음으로 접하게 된 전류이다. 화학적인 원리로 전지 등을 통해 자연스럽게 접하고 생산되기가 쉬웠기 때문이다. 우리가 알고 있는 모든 전지와 생물 전기는 화학적 원리를 기반으로 하는 직류이다. 당연히 전기 시대 초기에는 대부분 직류를 통해 전기의 생산과 소비, 연구가 이루어졌다.
직류는 시간에 따른 전력의 변화가 없기 때문에 전기 전자 회로의 설계, 해석, 표현이 훨씬 단순하고 안정적이며 효율적이다. 그래서 현재도 주변에서 흔히 볼 수 있는 대부분의 전자제품은 직류를 이용하고 있고 이용하게끔 설계 된다. 교류 전원을 공급 받는 제품도 내부적으로는 변압과 정류를 통해[14] 직류로 변환하여 사용하며, 전지를 쓰는 제품은 애초에 전지 자체가 직류 전원이다. 건전지를 꽂아쓰는 제품들이 +극과 -극을 제품에서 제시하는대로 정확한 방향으로 꽂아써야 하는 이유도 직류 방식을 쓰기 때문이다.
이렇게 다 좋아보이는 직류 전원도 치명적인 단점이 하나 있는데 변압이 힘들어서 초고압이 아닌 이상 전기를 장거리로 보낼 수 없다는 것이다. 전기가 갓 보급되기 시작했던 초기에는 교류에 대한 기초 지식이 부족하다보니[15] 발전 및 송전 시설들이 직류를 다루도록 설계 되었다. 하지만 직류는 승압과 강압이 어렵다보니 송전 시에 오만가지 트러블이 발생했다. 송전 가능한 거리도 너무 짧고 손실도 너무 크고 어찌어찌 받아보니 전압이 일정하지도 않았던 것이다. 만일 직류만으로 전기를 충분히 공급하게 하려면 도시 내 변전소를 매우 많이 건설해야하는데 이러면 거기에 들어가는 설비의 제조값과 유지보수값이 늘어나서 전기가 비싸지게 된다. 이 때문에 송변전 분야에서는 훨씬 더 경제적인 교류에게 완전히 밀려나게 되었다. 즉 경제적인 문제라는 하나의 문제가 심각하게 발목을 잡아서 대체된 기술이 되어버린 것. 현대 발전소들이 거주지와 멀찍이 떨어진 한적한 곳에 설치된 이유도 교류 방식을 쓰기 때문이다. 교류 방식을 쓰면 거주지와의 사이에 변전소를 서너개만 설치해도 안정적인 전기 공급이 가능하다.
전기 공급방식이 교류로 바뀐 이후에도 직류 기술은 나날이 발전하였다. 각종 전력 소자와 전기를 다루는 기술의 눈부신 발달로, 직류도 초소형 변압 회로가 흔히 쓰일 수 있게 되었고, 필요하다면 수십만 볼트 이상도 만들어 낼 수 있게 되었다. 일단 현대에서도 일반적인 지역간 송전에는 교류가 주로 쓰이지만, 100000V(100kV) 이상의 전압을 송전할 때는 직류 쪽의 전류량 손실이 적기 때문에, 초고압 직류 송전 HVDC[16]에 대해 많은 연구와 활용이 이뤄지고 있다. 차세대 송전법으로 기존 초고압 교류전기 송전 대비 이점이 있으며, 고부가가치 사업으로 분류된다. 특히 국토가 넓은 중국, 인도, 브라질, 오스트레일리아 등에서 사용하고 있으며, 한국에서도 한반도-제주도 간 송전의 경우 교류가 아닌 직류를 송전하고 있다.# 유럽연합에서도 교류 송전을 직류 송전 그리드로 바꾸는 것을 추진하고 있다. 2023년 HD현대에서는 1MW급 건물용 직류배전설비가 실상용화되었다. #
==== 교류 ====
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참고하십시오.
=== 감전 ===
감전으로 인해 사람이 사망하는 이유로 헷갈리거나 궁금해 하는 사람이 많은데 굳이 따지자면 감전사의 직접적인 원인은 전류이다. 다만 가장 근본적이고 직접적인 원인을 정의에서부터 따지고 들어간 후에 하나만 꼽아보자면 전류라는 것이지 다른 전기적 요소가 감전사의 조건이 아니라는 것이 아니다. 그저 평범하게 '감전사의 조건'이라하면 전압, 전류뿐이 아닌 매우 많은 요소가 있다. 감전으로 인해 사망에 이르려면 인체가 포함되는 전기적 회로가 구성되어 치사량의 전류가 통전해야 하는데, 이때 인체의 임피던스[17], 통전경로 및 시간, 접촉전압, 접촉면적, 주파수 등 에 따라 통전전류의 크기가 결정된다. 즉 몇 A\mathrm{A}의 전류가 흐르는가만 놓고 감전사를 하는지 안하는지는 알 수 없다는 것이다. 위의 설명이 복잡하다면 흔히들 알고 있는 옴의 법칙으로 생각해봐도 좋다. 단순히 인체의 피부저항[18]을 뚫고 일정량의 전류를 흐르게 하려면 일정크기의 전압도 필요하다는 것을 알 수 있을 것이다. 따라서 감전사의 원인이 전류라고 하는 것도, 전압이라고 하는 것도 100% 옳다고는 볼 수 없다는 것이다. 결국원인이 전류니 전압이니 하는 것은 단어의 정의 등으로 하는 말장난에 불과하다.
감전사에 영향을 끼치는 전기적 요소들의 관계들에 대해 실례로 알아보면 정전기와 테이저건을 보면 된다. 정전기의 경우 전압은 수만 V\mathrm{V}, 전류도 1 A1\,\mathrm{A}에 달하지만 통전시간이 1 μs1\,\mu\mathrm{s}수준이기에 실질적인 통전전류의 크기는 매우 작으며, 테이저건의 경우 사람에게 명중시 최대전압이 1200 V1200\,\mathrm{V}에 달하지만 전류는 고작 2 mA2\,\mathrm{mA}정도이기에 사람이 죽지 않는다. 그리고 가끔 치사량의 전류가 흐르지 않았음에도 감전사 하는 경우를 볼 수 있는데, 이 경우에는 통전경로를 의심할 수 있다. 감전사는 대부분의 경우 심실세동에 의한 사망인데 아무리 작은 전류여도 심장에 가깝게 흐를수록 심실세동이 일어날 확률이 높기 때문이다.
하지만 이런 세세한 내용은 차치하고 결과적으로 우리가 실생활에서 가장 주의해야 할 것은 단연코 전압이다. 위에서도 말했듯이 전류가 흐르려면 전압이 필요한 것이고, 전압이 높으면 높을수록 전류는 많이 흐르며, 높은 저항 값에도 전류를 흐르게 할 수 있기 때문이다. 거기다 사람에게 치명적인 전류량은 매우 작은 값이며, 주변에서 흔히 접하는 전기는 교류이기에 불수전류[19]값도 15 mA15\,\mathrm{mA}수준으로 매우 낮아 한번 감전되면 남의 도움 없이는 탈출할 수 없고 통전시간이 길어지면 결국 전류가 작아도 사망에 이를 수 있다.
아래는 전류와 인체의 반응을 서술해놓은 표이다.
전류
인체의 반응
0.67 mA0.67\,\mathrm{mA}
성인 여성이 전류가 흐르는 것을 느낄 수 있다.
1 mA1\,\mathrm{mA}
성인 남성이 전류가 흐르는 것을 느낄 수 있다.
5 mA5\,\mathrm{mA}
평균적인 여성이 참기 힘든 고통을 느낀다.
8 mA8\,\mathrm{mA}
평균적인 남성이 참기 힘든 고통을 느낀다.
10 mA10\,\mathrm{mA}
통증을 견딜 수 없다. (고통한계전류)
20 mA20\,\mathrm{mA}
근육의 수축이 심해 벗어날 수 없다. (불수전류)
50 mA50\,\mathrm{mA}
상당히 위험하다. (순간치사가능성)
100 mA100\,\mathrm{mA}
치명적. (심실세동전류)
심실세동전류까지 가게 되면 심장의 전류가 교란되어 심장마비나 심실세동이 일어난다. 그보다 적은 양이라고 안심할 수 없는 게 전류가 어떻게 흐르냐에 따라 위험도가 다르기 때문. 왼손을 타고 흐르는 전기는 심장을 다이렉트로 직격할 수 있기 때문에 꽤 위험하다.
=== 전류계 ===
전류를 측정하는 기구를 전류계라 하는데 전압계에 비하면 여러모로 사용이 번거롭다. 전압계는 회로와 병렬로 연결하기 때문에 전위차를 알고 싶은 두 지점에 그냥 프로브를 대면 되지만 직렬로 연결해야 하는 전류계는 측정을 원하는 부분을 끊은 다음 양쪽 도선이 끝나는 부분에 각각 프로브를 대야 하는데 양쪽이 집게로 되어 있는 도선들을 마디마디 이어 만든 회로가 아니라면 전류계를 넣을 곳을 일부러 확보하기도 어렵다. 거기에 멀티미터 레버를 mA 위치에 놓고 A 단위의 전류를 측정하거나, 전압계처럼 병렬로 프로브를 대거나, 부하가 될 소자 없이 전지와만 단독으로 연결해서 퓨즈가 녹아 버리는 등 전류계는 조금만 잘못 다뤄도 고장날 원인이 여러 가지다.
대학교 레벨에서도 이따금 저런 사고가 발생하고는 해서, 회로 실험 강의에서 전류는 직접적으로 측정하는 일을 자제하고 소자의 전압과 저항을 측정한 다음 옴의 법칙에 따라 전류를 계산해서 그것을 측정치로 취급하도록 하는 경우가 많다.
== 관련 문서 ==
[1] 흐름의 강도라는 뜻의 프랑스어 intensité du courant에서 유래함[2] 도체 등에서 움직이는 전하를 띤 입자들의 평균 속도[3] 사실 농도 자체가 평균의 개념을 포함하고 있기 때문에 아래의 미소 전하는 사실 평균적인 값이다.[4] 왜냐하면, 어떤 물리량 F\mathbf{F}에 대해 ∯SF⋅da\displaystyle \oiint_{S} \mathbf{F} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a}는 어떤 폐곡면 SS를 통해 유출 혹은 유입되는 물리량을 뜻하기 때문이다.[5] 이것은 dad \mathbf{a}의 방향이 부피 영역 VV에 대해 밖으로 나가는 방향이라는 암묵적인 가정이 있다.[6] 독일의 물리학자로, SI단위계에서 전기 저항 또는 임피던스를 나타내는 옴(Ω)이 그의 이름에서 따온 것이다.[7] 전기전자공학과, 물리학과[8] 전류계는 사실 전압에 관계없이 흐르는 전류의 세기만 측정하는 것이므로 여기에 저항을 직렬로 연결하면 된다. 그리고 흐르는 전류의 세기에 저항을 곱해서 전압의 크기를 알 수 있다. 고압전압계 만드는 영상 참조 [9] 심지어 각 자유전자의 속도는 모두 다를 수밖에 없다. 그래서 더더욱 평균속도를 사용한다.[10] 전류의 방향을 정의했던 물리학자인 벤자민 프랭클린이 공중방전을 관찰하면서 정의했었기 때문이다. 공중방전을 생각해보면 전자가 몰려있는 (후대 명칭의) 음극에서 (역시 후대 명칭의) 양극으로 불꽃이 튈 수밖에 없는데, 그것을 보고 불꽃이 튄 쪽을 뭔가를 잃었다는 의미에서 음극이라고 부른 것. 벤자민 프랭클린 당대에 공중방전을 시연하는 서커스 공연이 유행했었다고 한다.[11] 전자가 없어서 생긴 구멍. 전자를 물에 비유한다면 양공은 공기방울에 해당한다. 양전하를 가진 전자처럼 행동한다. 이 성질 때문에 준입자로 취급한다.[12] 그러면서도 전기장에 의해 조금씩 앞으로 나아가는데 이것의 속도를 드리프트 속도(drift velocity)라고 한다.[13] 음극선관 내의 음극선의 경우 관내가 진공이기 때문에 전자의 이동속도는 매우 빨라지게 된다. 이런 식으로 진공에서 전자 자체의 이동으로 전류가 흐르는 것을 대류 전류라고 한다.[14] 전기를 적게 소모하는 제품이면 자체적으로 변압과 정류가 가능하지만 전류를 많이 소모한다면 보조장비를 달아줘야 하는데 이게 종종 몇몇 전자기기(프린터,게임기가 대표적)의 콘센트가 무식하게 크거나 중간에 큰 무언가가 달려있는 이유이다. 그리고 그런 콘센트는 자리를 너무 차지해서 꽃다가 개고생하게 된다. AVGN이 특히 싫어하는 콘센트 유형[15] 직류와 교류는 동시대인 19세기에 발견되었다. 직류는 토머스 에디슨이, 교류는 니콜라 테슬라가 주도하였다.[16] High Voltage Direct current ; 초고압 직류 (송전)[17] 피부, 혈액, 근육의 저항 등[18] 연령, 성별, 부위, 수분 함유량 등에 따라 매우 큰 차이가 나나 통상적으로 2500∼5000 Ω2500 \sim 5000\,\Omega을, 물에 젖어있는 상태 등의 경우 500 Ω500\,\Omega을 기준으로 잡는다.[19] 통전경로의 근육이 경련을 일으키고 신경이 마비되어 스스로 전원에서 이탈할 수 없는 상태. 쉽게 말하면 감전됐지만 스스로는 뗄 수 없는 상태!
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