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조합
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수학 용어
조합(組合, Combination)
1
. 개요
2
. 특징
1.
개요
[편집]
서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r개를 선택하는 것을 조합이라고 한다. (단,
0
≤
r
≤
n
0\leq r\leq n
0
≤
r
≤
n
) Combination의 앞글자 C를 따 조합을
n
C
r
{}_n{\rm C}_r
n
C
r
로 쓴다.
쉽게 예시를 들자면 5명의 사람 중 무작위로 2명을 선택하는 경우의 수는
5
C
2
=
5
×
4
2
×
1
=
10
{}_5{\rm C}_2= \frac{5\times 4}{2\times 1}= 10
5
C
2
=
2
×
1
5
×
4
=
10
이는 순열인
5
C
2
{}_5{\rm C}_2
5
C
2
에서 순서를 생각하지 않으므로 2!로 나눈 것이다.
2.
특징
[편집]
n
C
r
=
n
P
r
r
!
=
n
!
r
!
(
n
−
r
)
!
{}_n{\rm C}_r= \frac{{}_n{\rm P}_r}{r!}= \frac{n!}{r!(n-r)!}
n
C
r
=
r
!
n
P
r
=
r
!
(
n
−
r
)!
n
!
n
C
0
=
1
{}_n{\rm C}_0= 1
n
C
0
=
1
[1]
,
n
C
n
=
1
{}_n{\rm C}_n= 1
n
C
n
=
1
n
C
r
=
n
C
n
−
r
{}_n{\rm C}_r= {}_n{\rm C}_{n-r}
n
C
r
=
n
C
n
−
r
[2]
n
C
r
=
n
−
1
C
r
+
n
−
1
C
r
−
1
{}_n{\rm C}_r= {}_{n-1}{\rm C}_r+{}_{n-1}{\rm C}_{r-1}
n
C
r
=
n
−
1
C
r
+
n
−
1
C
r
−
1
=
(
n
−
1
)
!
r
!
{
(
n
−
1
)
−
r
}
!
+
(
n
−
1
)
!
r
−
1
!
{
(
n
−
1
)
−
(
r
−
1
)
}
!
=
(
n
−
1
)
!
r
!
(
n
−
1
−
r
)
!
+
(
n
−
1
)
!
(
r
−
1
)
!
(
n
−
r
)
!
=
(
n
−
r
)
(
n
−
1
)
!
r
!
(
n
−
r
)
!
+
r
(
n
−
1
)
!
r
!
(
n
−
r
)
!
=
{
(
n
−
r
)
+
r
}
(
n
−
1
)
!
r
!
(
n
−
r
)
!
=
n
!
r
!
(
n
−
r
)
!
=
n
C
r
= \frac{\left ( n-1 \right )!}{r!\left\{ \left ( n-1 \right )-r\right\}!} + \frac{\left ( n-1 \right )!}{r-1!\left\{ \left ( n-1 \right )-(r-1)\right\}!} \\ = \frac{(n-1)!}{r!(n-1-r)!} +\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!} \\ = \frac{(n-r)(n-1)!}{r!(n-r)!} + \frac{r(n-1)!}{r!(n-r)!} \\ =\frac{\left\{ (n-r)+r\right\}(n-1)!}{r!(n-r)!} \\ =\frac{n!}{r!(n-r)!}= {}_n{\rm C}_r
=
r
!
{
(
n
−
1
)
−
r
}
!
(
n
−
1
)
!
+
r
−
1
!
{
(
n
−
1
)
−
(
r
−
1
)
}
!
(
n
−
1
)
!
=
r
!
(
n
−
1
−
r
)!
(
n
−
1
)!
+
(
r
−
1
)!
(
n
−
r
)!
(
n
−
1
)!
=
r
!
(
n
−
r
)!
(
n
−
r
)
(
n
−
1
)!
+
r
!
(
n
−
r
)!
r
(
n
−
1
)!
=
r
!
(
n
−
r
)!
{
(
n
−
r
)
+
r
}
(
n
−
1
)!
=
r
!
(
n
−
r
)!
n
!
=
n
C
r
[1]
0개를 선택하는 경우의 수는 한가지이기 때문
[2]
n개가 있을 때 r개를 뽑는 방법의 수인
n
C
r
{}_n{\rm C}_r
n
C
r
과, 선택되지 않은 n-r개를 뽑는 방법의 수는 같기 때문이다.
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