꼭짓점 A에서 밑변에 내린 수선의 발을 H라고 하고,
BH=x라고 하자.
이때,
피타고라스 정리를 이용해
c2b2=h2+x2=h2+(a−x)2라고 나온다.
두 식을 빼면
c2−b2=2ax−a2가 나온다.
그러므로
x는
2aa2+c2−b2가 나온다.
아까 구한
c2=h2+x2을 바꿔서 풀면
h2=c2−x2=c2−(2aa2+c2−b2)2 가 된다.
인수분해를 해
(c+2aa2+c2−b2)(c−2aa2+c2−b2) 이 식을 만들고,
또 인수분해를 해
[2a(a+c)2−b2][2ab2−(a−c)2] 이 식을 만든다.
식을 풀면
4a21(a+b+c)(a+c−b)(a+b−c)(b+c−a),
4a21⋅2s⋅2(s−b)⋅2(s−c)⋅2(s−a),
a24s(s−a)(s−b)(s−c) 가 되는데,
거의 다 왔다이때
△ABC이 넓이의 제곱은
(△ABC)2=(21ah)2가 되므로,
(△ABC)2=41a2h2=s(s−a)(s−b)(s−c) 가 되고, 마지막으로
∴△ABC=s(s−a)(s−b)(s−c)라는 공식이 나온다.
수고했다.