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1. 개요2. 증명3. 피타고라스 정리4. 코사인 법칙

1. 개요[편집]

삼각형의 변의 길이가 a,b,ca, b, c라고 하고 ss가 둘레의 길이의 절반이라면 이때 넓이는 s(sa)(sb)(sc)\displaystyle \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 이다.
삼각형의 세 변의 길이만 알면 바로 넓이를 구할 수 있기 때문에 매우 유용한 공식이다.증명하는게 좀 까다로워서 그렇지

2. 증명[편집]

3. 피타고라스 정리[편집]

파일:헤론공식-유도_2.svg
꼭짓점 A에서 밑변에 내린 수선의 발을 H라고 하고, BH=x\overline{\rm BH}=x라고 하자.
이때, 피타고라스 정리를 이용해 c2=h2+x2b2=h2+(ax)2\displaystyle \begin{aligned} c^{2}&=h^{2}+x^{2}\\ b^{2}&=h^{2}+(a-x)^{2} \end{aligned} 라고 나온다.

두 식을 빼면 c2b2=2axa2\displaystyle c^{2}-b^{2}=2ax-a^{2}가 나온다.

그러므로 xxa2+c2b22a\displaystyle \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} 가 나온다.

아까 구한 c2=h2+x2c^{2}=h^{2}+x^{2}을 바꿔서 풀면

h2=c2x2=c2(a2+c2b22a) ⁣2\displaystyle \begin{aligned} h^{2}&=c^{2}-x^{2} \\&=c^{2}-\left( \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)^{\!2} \end{aligned} 가 된다.

인수분해를 해

(c+a2+c2b22a)(ca2+c2b22a)\displaystyle \begin{aligned} \left( c+\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)\left( c-\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right) \end{aligned} 이 식을 만들고,

또 인수분해를 해

[(a+c)2b22a][b2(ac)22a]\displaystyle \begin{aligned} \left[ \dfrac{(a+c)^{2}-b^{2}}{2a} \right]\left[ \dfrac{b^{2}-(a-c)^{2}}{2a} \right] \end{aligned} 이 식을 만든다.

식을 풀면

14a2(a+b+c)(a+cb)(a+bc)(b+ca)\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{4a^{2}}(a+b+c)(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a) \end{aligned},
14a22s2(sb)2(sc)2(sa)\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{4a^{2}}\cdot 2s \cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-a) \end{aligned},
4a2s(sa)(sb)(sc)\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{4}{a^{2}}s(s-a)(s-b)(s-c) \end{aligned} 가 되는데,

거의 다 왔다
이때 ABC\triangle ABC이 넓이의 제곱은
(ABC)2=(12ah) ⁣2\displaystyle \begin{aligned} (\triangle {\rm ABC})^{2}&=\left( \frac{1}{2}ah \right)^{\!2} \end{aligned} 가 되므로,

(ABC)2=14a2h2=s(sa)(sb)(sc)\displaystyle \begin{aligned} (\triangle {\rm ABC})^{2}=\frac{1}{4}a^{2}h^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c) \end{aligned} 가 되고, 마지막으로

ABC=s(sa)(sb)(sc)\displaystyle \begin{aligned} \therefore {\triangle \rm ABC}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c) } \end{aligned} 라는 공식이 나온다.수고했다.

4. 코사인 법칙[편집]

파일:헤론공식-유도_2.svg
삼각비를 이용하면 ABC\triangle {\rm ABC}의 넓이인

12acsinB\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{2}ac\sin{B} \end{aligned} 가 된다.
이 공식을 조금 변형해

12ac1cos2B\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{2}ac \sqrt{1-\cos^{2}{B}} \end{aligned} 를 얻는다.

제2 코사인 법칙[1]에 의해

cosB=a2+c2b22ac\displaystyle \begin{aligned} \cos{B}=\frac{a^2+c^2-b^{2}}{2ac} \end{aligned} 로 하고,

이때, sin2B+cos2B=1\sin^{2}{B}+\cos^{2}{B}=1이니 sinB=1cosB\sin {B}= 1- \cos {B} 를 얻어서 다음을 만든다.

ABC=12acsinB=12ac1(a2+c2b22ac)2\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}&=\dfrac{1}{2}ac\sin{B} =\dfrac{1}{2}ac \sqrt{1-\left(\frac{a^2+c^2-b^{2}}{2ac} \right)^{2}} \end{aligned}

ABC=144a2c2(a2+c2b2)2\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}&= \dfrac{1}{4}\sqrt{4a^{2}c^{2}-(a^2+c^2-b^{2})^{2}} \end{aligned}

ABC=14[(a+c)2b2][b2(ac)2]=14(a+b+c)(a+cb)(a+bc)(b+ca)\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}& = \dfrac{1}{4}\sqrt{[ (a+c)^{2}-b^{2} ] [ b^{2}-(a-c)^{2} ]} \\&= \dfrac{1}{4}\sqrt{ (a+b+c)(a+c-b) (a+b-c)(b+c-a) } \end{aligned}

방금 이 식은 피타고라스 정리로 증명할 때 보았던 것이므로 16s(sa)(sb)(sc)16s(s-a)(s-b)(s-c) 다.

이제 공식이 나온다.

ABC=s(sa)(sb)(sc)\displaystyle \begin{aligned} \therefore \triangle {\rm ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{aligned} 가 된다.
[1] b2=a2+c22accosB\displaystyle \begin{aligned} b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos{B} \end{aligned}