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분류
정수
-1
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0
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1
1. 개요2. 수학적 특징
2.1. 수로서의 0

1. 개요[편집]

0 / 零,空 / Zero[1]

-1보다 크고 1보다 작은 정수. 없음(無)을 나타내는 수로 인도에서 이 숫자의 개념을 발견/발명[2]하였다고 하며, 정수 또는 유리수 또는 실수 중에서 양수도 아니고 음수도 아닌 유일한 수다. 과거에는 무한소를 나타내는 표기로도 쓰였다.
한때는 수가 아니기도 하였다.

2. 수학적 특징[편집]

2.1. 수로서의 0[편집]

수로서의 00은 사칙연산에 대한 여러 가지 특수성을 지니고 있다.
  • 덧셈: 00에 어떤 수를 더하거나 어떤 수에 00을 더하면 어떤 수 자신이 나온다.(덧셈의 항등원)
  • 뺄셈: 00에서 어떤 수를 빼면 부호가 바뀌어서 나오고 어떤 수에서 00을 빼면 어떤 수 자신이 나온다.(뺄셈의 우항등원)
  • 곱셈: 어떤 수에 00을 곱하면 무조건 0\mathbf0이 되어 버린다. 또한 곱했을 때 결과가 00이 나왔다면 곱한 수 중 하나 이상은 00이다.[3] 후술할 나눗셈에서 00으로 나눌 수 없는 것도 그런 이유.
  • 나눗셈: 00을 00이 아닌 수로 나누면 00이다. 일반적인 수 체계에서 나눗셈의 수학적 정의는 '역수를 곱하는 것'이다. 여기서 역수는 곱셈에 대한 역원, 즉 어떤 수와 곱해서 11이 되는 수로 정의한다. 00과 곱해서 11이 되는 수는 없으므로, 0\mathbf0으로 나누기는 생각하지 않는다. 단 바퀴 이론과 같은 수 체계에서는 0으로 나누기를 이용해도 모순이 생기지 않는다.

또한 양수도 음수도 아닌 '제3의 부호'를 갖고 있는 수이기도 하다. 이를 가장 단적으로 보여 주는 것이 다름 아닌 부호 함수인데, 양수에서부터든 음수에서부터든 어느 쪽으로 극한을 취해도 절대로 0이 될 수 없다. 실수 뿐만 아니라, 복소수 범위까지 확장해도 부호함수를 취해서 0이 되는 수는 오직 0 하나뿐이다.
[1] 사람 혹은 지역에 따라 발음이 '제로'가 되고 '지로'가 된다.[2] #[3] 이 성질은, 얼핏 생각하면 단순해 보이지만 매우 중요한 성질이다. 만약 이 성질이 없다면 방정식을 푸는 것이 불가능한데, (x−a)(x−b)⋯⋯(x−z)=0(x-a)\left(x-b\right)\cdots\cdots\left(x-z\right) = 0 등으로 아무리 깔끔하게 인수분해를 했어도 각각의 인수가 00이라는 보장이 없기 때문. 실제로 수가 아니라 행렬에서의 방정식을 생각한다면, 이 성질이 성립하지 않기 때문에 이렇게 방정식을 풀 수 없다.