Exponential Idle/이론

Exponential Idle의 플레이 요소 중 이론에 관련된 내용을 정리한 문서.

f(t)의 값이 ee2000에 도달하면 상단 변수 바에 $\varphi = 1.00$와 $\tau =\,\,????$가 상단에 뜰 것이다. 물론 처음에는 τ값이 왜 ????로 뜨는지 의문을 가질 것이다. τ의 값은 f(t)의 값이 ee5000에 도달하고 이론에 처음으로 도입하면 값이 나타난다. 또한, 이론을 처음으로 시작하게 되면 f(t) 수식에 τ가 추가되면서, 본 게임의 수식이 $f(t+dt) = f(t)\times e^{bx_{n}\varphi \tau dt}$로 변경된다.

이론은 f(t)의 값과 연관된 본 게임과 유사한, 더 작은 유휴 게임으로 간주할 수 있다. 이론은 f(t)의 진행에 기여하는 τ값을 증가시키지만 그 외 f(t)와 관련된 변수들에는 영향을 주지도 받지도 않는다. 특히 눈여겨볼 만한 특징이 하나 있는데, 바로 한번에 1개의 이론만 활성화시킬 수 있다는 것이다. 2개 이상의 이론을 진행할 수 있을 때 1개의 이론을 선택하면 나머지 이론들의 진행 상태는 일시정지되면서 자동으로 저장된다. 따라서 여러분이 활성화된 이론을 변경한다고 해도 이론의 각 진행 상황은 초기화되지 않고 지속적으로 진행할 수 있다.

한편 각각의 이론은 이론 재화 ρ(로)를 생성하는 각자의 고유 식을 가지고 있으며, ρ로는 이론 업그레이드를 구매할 수 있다. 각 이론의 ρ값은 다른 이론에 영향을 주고 받지 않으며, 오직 하나의 이론 내에서만 영향을 받는다. 또한 각 이론에서의 재화 ρ의 최댓값은 해당 이론의 τ(타우)값으로 변환된다.[1]

이론에서의 총 τ값은 $\tau = \prod_i (1+\tau_i)$의 수식을 따른다.[2] 이는 특정 이론을 해금만 하고 아직 시작하지 않거나, 아직 잠겨있는 처음 이론의 경우 τ의 값이 0인데, 만약 τ값을 순수하게 곱하기만 하면 0이 되어 f(t) 수식의 증폭을 모조리 제거해서[3] 도로아미타불 시켜버리는 것을 방지하기 위한 것으로 보인다.

각각의 이론에는 독자적인 '변수 업그레이드'를 가지고 있으며, 동일한 '영구 이론 업그레이드'를 가지고 있다. 이론 업그레이드는 오직 해당 이론에만 적용되며, 다른 이론에는 영향을 주고 받지 않는다. f(t) 공식처럼 모든 이론의 1번째 변수는 무료로 구매할 수 있다. 차이점은 이론의 1번째 변수는 최초 1회만 무료라는 점으로, 2번째 구매부터는 업그레이드를 재화 ρ로 구매해야 한다. '영구 이론 업그레이드'는 총 3가지가 존재하며, 이는 다음과 같다.

각 이론에는 출판(Publication)이라는 초기화 기능이 존재하며, 이론의 수식을 업그레이드할 수 있는 이정표(Milestones)가 존재한다. 출판은 이론의 수식을 통해 얻는 수입을 일정 배율 증폭시켜주는 대신, 이론의 변수 업그레이드와 재화 ρ를 초기화시킨다.[4] 쉽게 말하자면 f(t)의 프레스티지와 거의 똑같은 것. 대신 출판은 반드시 출판 이전의 최대 τ값을 넘겨야 가능하다. 만약 출판 이전의 최대 τ값을 넘기지 않은 상황이라면, "출판하려면 (출판 이전 τ의 최댓값)에 도달하세요."라고 뜨며 출판 자체가 아예 불가능하다. 출판으로 증폭되는 값은 각 이론마다 다른 고유한 값을 가진다.

이정표는 이론의 수식 업그레이드를 할 수 있는 기능으로, 해당 이론에서의 τ값에서 e 뒤의 값이 25씩 증가할 때마다 업그레이드가 1개씩 주어진다. 즉, 처음에는 1.000e25에서 업그레이드가 주어지며, 이후에는 e50, e75, e100, ... 이런 식으로 넘어가는 방식.[5] 아직 모든 업그레이드를 얻지 못했다면 "업그레이드를 얻기 위해서 다음 이정표 (값)에 도달하세요."라고 뜨며, 모든 업그레이드를 얻는다면 "가장 높은 이정표에 도달했습니다!"라 뜬다.

각 문단에서 다루는 내용은 각 이론에서만 가지는 고유한 특성을 설명한 것이다. 모든 이론에 적용되는 내용은 상술한 내용을 확인할 것.

이와는 별개로, 정식 이론은 f(t)가 특정 값에 도달하는 즉시 달성해주는 것이 좋다. $\varphi$의 증가에 비해 $\tau$의 증가가 더욱 빠르기 때문이다. 아래 정식 이론에서 f(t)와 σ를 최소 가격으로 표기하는 것 역시 이에 따른 것이다. 연구 탭에서 이미 다른 탭에 동원된 학생을 빼서 다른 곳에 동원할 수 있는데, 이 기능을 활용하면 다른 곳에 모든 학생을 사용했다 하더라도 이론을 구매하는 것이 가능하다.

참고로 아래에서 '레벨에 따라 값이 느리게 증가하는' 변수의 현재 레벨을 $n$이라 하면, $\frac{n-1}{10}$의 정수 부분을 $m$이라 할때, 레벨이 증가할 때 $2^m$이 더해지는 방식으로 변수값이 증가한다. 또한, 각 이론에서의 이정표 순서는 이정표 업그레이드를 사용하기 직전 각각의 시점에서의 이정표 순서를 기준으로 한다.

처음으로 해금할 수 있는 이론. Exponential Idle에 등장하는 모든 수식을 통틀어서 유일하게 재화의 이전 값이 재화의 변화율에 영향을 주는 수식으로, 다른 수식과 달리 절대로 구매가 가능한 즉시 업그레이드를 하지 말아야 하는 이론이다. 기본 변수로는 $q_1$, $q_2$, $c_1$, $c_2$가 있으며, 이후 이정표 업그레이드를 통해 $c_3$과 $c_4$ 역시 업그레이드가 가능하다.

먼저 점화식 이론의 계산식은 다음과 같다.

위에서 언급한 계산식을 자세히 분석해보자. 현재 틱에서의 ρ의 값을 $\rho_n$, 다음 틱에서의 ρ의 값을 $\rho_{n+1}$이라 하고 있다. 최종 수식을 기준으로 할 때, 다음 틱에서의 ρ의 값은 현재 틱에서의 ρ의 값($\rho$), $c_1$ 및 $c_2$에 현재 틱에서의 ρ의 값과 관련된 것을 곱한 값($c_1^{1.15}c_2\biggl( 1+\dfrac{\mathrm{ln}(\rho_n)}{100} \biggl)$), 직전 틱에서의 ρ와 관련된 값($c_3\rho_{n-1}^{0.2}$), 2틱 전의 ρ와 관련된 값($c_4\rho_{n-2}^{0.3}$)을 모두 더한 값이라는 것을 알 수 있다.

이제 ρ가 쌓이는대로 즉시 업그레이드에 사용하지 말아야 하는 이유를 알아보자. 먼저 여러분이 현재 11ρ를 가지고 있는 상황에서 10ρ 가격의 업그레이드가 있다고 가정하자. 만약 여러분이 바로 업그레이드를 구매한다면 ρ의 값은 11에서 1로 감소하게 된다. 반대로 업그레이드를 구매하지 않는다면 바로 다음 틱에서 ρ의 값은 11 초과의 값을 가지게 되므로, 결국 여러분은 최소 11배의 손해를 보는 것이 된다. 여기까지만 봐도 이미 큰 피해를 입힌다는 것을 확인할 수 있는데, 이게 끝이 아니다. 이정표를 통해 수식을 최대한 업그레이드한다면 위에서도 상술했듯이 직전 틱과 2틱 전의 ρ값 역시 계산에 들어가게 된다. 만약 여러분이 ρ를 사용하여 바로바로 업그레이드를 진행한다면 ρ값의 감소가 전체 수식에 영향을 계속해서 주게 될 것이며, 이것이 매 틱마다 반복된다면 결국 겉잡을 수 없을 정도로 큰 손실을 입게 된다. 이것이 바로 위에서 언급했던, 업그레이드를 바로 구매하지 말아야 하는 이유이다.

점화식 이론에서는 최소 4개, 최대 6개의 변수에 의해 ρ의 값이 변화한다. 변수의 종류는 아래와 같다.

여기서 눈여겨볼 점은 $q_1$과 $q_2$가 이론의 틱 속도 변화에 영향을 준다는 점이다. f(t) 방정식을 포함하여, Exponential Idle에서의 각 수식의 틱 속도는 초당 0.1이다. 점화식 이론 역시 출판 직후에는 틱 속도가 초당 0.1이지만, 점화식 이론에서의 틱 속도는 초당 $q_1q_2$이다. 점화식 이론에서는 틱 속도의 가속과, 출판을 통한 증폭 2가지 모두에 의해 속도가 가속된다는 의미이다. 따라서 이론이 진행되다 보면 나중에는 "틱 속도: 5.464e83/초"같은 경우도 보게 될 것이다.

한편, 점화식 이론에서의 이전 출판의 τ의 값을 $\bar \tau_1$이라 하면, τ값에 따른 증폭 배율 공식은 $\dfrac{\bar \tau_1^{0.164}}{3}$을 따른다. 또한 점화식 이론에서의 이정표 업그레이드는 총 6단계로, τ값이 1.00e150에 도달하면 가장 높은 이정표에 도달할 수 있다. 이정표 업그레이드의 목록은 아래와 같다.

점화식 이론의 '이정표'는 3번째 -> 4번째 -> 2번째 -> 1번째(3개) 순으로 진행하면 효율이 최대가 된다고 한다. 또한, Exponential Idle의 모든 이론들 중에서 가장 효율적인 출판 시점이 알려지지 않은 유일한 이론이다. 그 이유는 $\tau_1$의 값에 따라 최고로 효율적인 증폭 배율이 달라지기 때문인데, 일단 전반적으로 2.5~6배 사이에서 심하게 요동친다고 한다.

1번째 이론을 해금한 후, 학생 5명으로 해금할 수 있는 이론. 기본 변수로는 $\dot q_1$, $\dot q_2$, $\dot r_1$, $\dot r_2$가 있으며, 이후 이정표 업그레이드를 통해 변수 $\dot q_3$, $\dot q_4$, $\dot r_3$, $\dot r_4$ 역시 업그레이드할 수 있다. '점화식' 이론과는 달리 틱 속도는 0.1/초로 고정되어 있다. 또한, $x_n$처럼 $q_1$ ~ $q_4$, $r_1$ ~ $r_4$의 값이 현재 틱에서 얼마인지가 그래프 화면 우측에 배열되어 있다. 처음에는 3번 항과 4번 항이 해금되지 않아서 '잠김'이라고 뜨나, 이정표 업그레이드를 진행하면 모두 값이 뜨게 된다.

미분방정식 이론에 관한 기본적인 분석을 이해하기 위해서는 도함수를 비롯한 기초적인 미적분에 대한 이해가 필요하다. 이후 이론들도 대부분 이론 재화 관련 수식을 $\dot \rho$에 대한 식으로 정리하는 편인데, 이 이론은 특히 도함수를 비롯한 미적분 관련 내용에 중심을 둔만큼 관련 정보를 미리 알아가도록 하자. 먼저 $\dot \rho$는 뉴턴 방식으로 표기한 ρ의 도함수로, 여기서의 도함수는 정확히는 미분 계수에 가깝다. 이때 미분 계수는 수학적으로 '함수의 순간 변화율'로 정의된다. 함수가 미분 가능할 때, $x$에 대한 다항함수 $y = x^n$에 대하여 $\dot y = nx^{n-1}$가 성립한다. 반대로 이러한 미분 가능한 함수의 도함수에서 원래 함수를 찾는 작업인 적분을 진행할 수도 있는데, $\dot y = nx^{n-1}$를 $x$에 대해 적분하면 $y = x^n$을 얻을 수 있다.

먼저 미분방정식 이론의 변수는 총 8개로, 최소 4개에서 최대 8개의 변수에 의해 ρ의 값이 변화한다. 미분방정식 이론에서의 변수는 다음과 같다. 이때 $C$는 레벨에 따라 변화하는 수로, 8개 변수 모두 동일한 원리가 적용된다.

변수에 대한 수식들을 적분해준 후 이들을 적절히 변형시켜서 q, r의 1번째 변수에 대한 점화식을 구하면, 좌변에는 $q_1(t+dt)$, $r_1(t+dt)$가 각각 오게 된다. 우변에는 $q_1$, $q_2$를 1번 적분한 것, $q_3$를 2번 적분한 것, $q_4$를 3번 적분한 것의 합이 온다. 이때 각 항은 그 자체로는 상수로 간주되며, 적분할 때에는 dt에 대하여 적분한다. 따라서 미분방정식 이론의 계산식은 다음과 같다.

한편, 미분방정식 이론에서의 이전 출판의 τ의 값을 $\bar \tau_2$라 하면, τ값에 따른 증폭 배율 공식은 $\dfrac{\bar \tau_2^{0.198}}{100}$을 따른다. 또한 미분방정식 이론에서의 이정표 업그레이드는 총 10단계[8]로, τ값이 1.00e250에 도달하면 가장 높은 이정표에 도달할 수 있다. 이정표 업그레이드의 목록은 아래와 같다.

미분방정식 이론의 '이정표'는 1번째(2개) -> 2번째(2개) -> 3번째(3개) -> 4번째(3개) 순으로 진행하면 효율이 최대가 된다고 한다. 여담으로 이정표 중에서는 장기적으로는 특정 항의 지수를 높이는 것에 비해 항을 추가하는 것이 효율이 높은데, 이는 초반에는 q, r의 각각의 고차항이 증가하는데 많은 시간이 필요하지만 후반으로 가면 결국 고정된 증가 비율을 가진 거듭제곱항에 비해 기하급수적으로 값이 증가하여 따라잡기 때문이라고. 또한 해당 이론의 최적의 증폭 배율은 다른 이론에 비해 압도적으로 크다는 점이 있다. $\tau_2$값이 1.00e100이 되기 전까지는 증폭 배율이 4자리 수, 1.00e200이 되기 전에는 무려 5자리 수일 정도. 나머지 이론들이 대부분 4~6배 내외, 아무리 높아도 10~15배라는 것을 감안하면 증폭 배율이 독보적이라는 것을 확인할 수 있다.

2번째 이론을 해금한 후, 학생 5명으로 해금할 수 있는 이론. 기본 변수로는 $b_1$, $b_2$, $c_{11}$, $c_{12}$, $c_{21}$, $c_{22}$ 6개가 있으며, 이후 이정표 업그레이드를 통해 $b_3$, $c_{13}$, $c_{23}$, $c_{31}$, $c_{32}$, $c_{33}$ 6개의 변수 역시 업그레이드 할 수 있다, 정식 이론 8개 중에서 변수가 12개로 가장 많으며, 7번째 이론과 더불어 ρ의 개수 역시 여러개인 이론 중 하나이다. 기본적으로 이론 재화가 $\rho_1$, $\rho_2$로 2개인데다가 이정표로 차원을 확대하면 $\rho_3$까지 추가되어 이론 재화가 3개가 되기 때문에, 선형대수학 이론에서 $\tau_3$의 값은 $\rho_1$의 최댓값을 기준으로 한다.

선형대수학 이론을 자세히 분석하기 위해서는 행렬, 그 중에서도 행렬곱의 이해가 필요하다. 먼저 행렬은 1개 이상의 수나 식을 직사각형의 배열로 나열한 것을 의미하며, 행렬에서의 가로줄은 행(row), 세로줄은 열(column)이라 부른다. 한 행렬의 행이 m개이고 열이 n개이면 그 행렬은 $m\times n$ 크기의 행렬이 된다.

다음으로 행렬곱은 행렬의 연산 중 하나로, 행렬곱을 진행하기 위해서는 곱의 앞 행렬의 열 개수와 뒤 행렬의 행 개수가 동일해야 한다.[9] 앞 행렬을 $A$, 뒤 행렬을 $B$라 하자. $A$의 크기가 $a\times b$이고 $B$의 크기가 $c\times d$라면, 행렬곱 $A\times B$가 성립하기 위해서는 $b=c$가 성립해야 한다. 이때 행렬곱의 결과로 얻는 행렬의 크기는 앞 행렬의 행 개수 X 뒤 행렬의 열 개수가 된다. 앞에서 예시로 들었던 두 행렬의 곱의 경우 $a\times d$ 크기를 갖는다는 뜻.

이제 행렬곱을 계산해보자. 먼저 행렬 $A$가 $m\times n$의 크기를, 행렬 $B$가 $n\times r$의 크기를 가진다고 가정하자. 이때 두 행렬 $A$, $B$의 행렬곱 $C$는 $m\times r$의 크기이다. 이때 행렬 $C$의 $i$행 $j$열 성분은 $A$의 $i$행의 1, 2, 3, ..., $k$번째 성분을 $B$의 $j$열의 1, 2, 3, ..., $k$번째 성분을 각각 곱한 것을 모두 더한 값과 같다. 여기까지 말로 서술된 부분을 이해하기에는 어려움이 따를 것이다. 백문이 불여일급이듯이, 이제 선형대수학 이론의 ρ식을 예시로 행렬곱을 시각적으로 이해해보자.

$\begin{bmatrix} \dot \rho_1 \\ \dot \rho_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\color{#380000}c_{11}} & {\color{#380000}c_{12}} \\ {\color{#700000}c_{21}} & {\color{#700000}c_{22}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{blue}b_1} \\ {\color{blue}b_2} \end{bmatrix}​​ = \begin{bmatrix} ({\color{#380000}c_{11}}{\color{blue}b_1} + {\color{#380000}c_{12}}{\color{blue}b_2}) \\ ({\color{#700000}c_{21}}{\color{blue}b_1} + {\color{#700000}c_{22}}{\color{blue}b_2}) \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \dot \rho_1 \\ \dot \rho_2 \\ \dot \rho_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\color{#380000}c_{11}} & {\color{#380000}c_{12}} & {\color{#380000}c_{13}} \\ {\color{#700000}c_{21}} & {\color{#700000}c_{22}} & {\color{#700000}c_{23}} \\ {\color{#a80000}c_{31}} & {\color{#a80000}c_{32}} & {\color{#a80000}c_{33}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{blue}b_1} \\ {\color{blue}b_2} \\ {\color{blue}b_3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ({\color{#380000}c_{11}}{\color{blue}b_1} + {\color{#380000}c_{12}}{\color{blue}b_2} + {\color{#380000}c_{13}}{\color{blue}b_3}) \\ ({\color{#700000}c_{21}}{\color{blue}b_1} + {\color{#700000}c_{22}}{\color{blue}b_2} + {\color{#700000}c_{23}}{\color{blue}b_3}) \\ ({\color{#a80000}c_{31}}{\color{blue}b_1} + {\color{#a80000}c_{32}}{\color{blue}b_2} + {\color{#a80000}c_{33}}{\color{blue}b_3}) \end{bmatrix}​​$

먼저 선형대수학 이론의 계산식은 다음과 같다.

선형대수학 이론의 변수는 총 12개로, 최소 6개에서 최대 12개의 변수에 의해 2~3가지 종류의 ρ의 값이 각각 변화한다. 이들 변수를 분류한 결과는 아래와 같다.

한편, 선형대수학 이론에서의 이전 출판의 τ의 값을 $\bar \tau_3$이라 하면, τ값에 따른 증폭 배율 공식은 $3\bar \tau_3^{0.147}$을 따른다. 또한 선형대수학 이론에서의 이정표 업그레이드는 총 7단계로, τ값이 1.00e175에 도달하면 가장 높은 이정표에 도달할 수 있다. 이정표 업그레이드의 목록은 아래와 같다.

선형대수학 이론의 이정표는 플레이 방식에 따라 효율이 최대가 되는 이정표의 업그레이드 순서가 달라진다. 만약 꾸준히 인게임에서 플레이하는 유저라면 3번째(2개) -> 1번째 -> 2번째(2개) -> 4번째(2개) 순으로, 방치형으로 주로 플레이하는 유저라면 3번째(2개) -> 2번째(2개) -> 1번째 -> 4번째(2개) 순으로 진행하는 것이 효율이 최대가 된다고 한다. 대체로 차원 확장에 비해 b항의 지수를 증가시키는 업그레이드의 중요도가 높은 편인데, 이는 차원 확장으로 인한 τ값 증가 속도의 증폭 효과는 일정한 값인 반면, b항의 지수 증가로 인한 τ값 증가 속도의 증폭 효과는 직접적이고 지속적이라 후반에는 결국 차원 확장의 효과를 초월하기 때문이다. 또한, 해당 이론의 최적의 증폭 비율은 다른 이론에 비해 상대적으로 낮은 편으로, 대체로 2~4배 사이라고 한다. 마지막으로, $\rho_1$의 최댓값이 $\tau_3$의 값이 된다는 원리를 이용하는 경우, 출판을 하기 직전에는 $\rho_1$을 요구하는 모든 업그레이드의 구매를 중단하여 $\rho_1$값의 증가에 기여하는 것이 좋다고 한다.

3번째 이론을 해금한 후, 학생 5명으로 해금할 수 있는 이론. 기본 변수로는 $c_1$, $c_2$, $c_3$, $q_1$, $q_2$ 5개가 있으며, 이후 이정표 업그레이드를 통해 $c_4$, $c_5$, $c_6$ 또한 업그레이드할 수 있다. 다항식 이론에서의 q값은 $q(t+dt) = q+\dot q\times dt$의 수식을 따라 증가한다. 이때 틱 속도는 항상 초당 0.1이므로 $dt=0.1$이 성립한다. 사실 작동 원리가 가장 단순한 이론이라 설명할 내용이 별로 없다

먼저 다항식 이론의 계산식은 다음과 같다. 아래 수식에서 $q$는 현재 틱에서의 q값을 의미한다.

다항식 이론의 변수는 총 8개로, 최소 5개에서 최대 8개의 변수에 의해 ρ의 값이 변화한다. 각 변수의 현재 레벨을 $n$이라 할 때, 변수의 종류는 다음과 같다.

한편, 다항식 이론에서의 이전 출판의 τ의 값을 $\bar \tau_4$이라 하면, τ값에 따른 증폭 배율 공식은 $\dfrac{\bar \tau_4^{0.165}}{4}$을 따른다. 또한 다항식 이론에서의 이정표 업그레이드는 총 7단계로, τ값이 1.00e175에 도달하면 가장 높은 이정표에 도달할 수 있다. 이정표 업그레이드의 목록은 아래와 같다.

다항식 이론의 이정표는 1번째(3개) -> 3번째(3개) -> 2번째 순으로 진행하는 것이 효율이 최대가 된다고 한다. 또한 해당 이론의 최적의 증폭 비율은 대략 4~6배 정도로 일정하게 유지된다고 한다. 만약 모든 이정표를 구매한 1.00e175 이후에 변수를 구매한다면, 초반에는 $c_4$, $c_5$, $c_6$ 3개만 구매하지 말다가, 출판이 가능해지기 약 e1~e2 전부터는 $c_3$, $q_1$, $q_2$ 이 3개만 구매하는 것이 좋다고 한다.

4번째 이론을 해금한 후, 학생 5명으로 해금할 수 있는 이론. 이 이론부터는 초반부 이론이 아닌, 중반부 이론으로 간주된다. 기본 변수로는 $q_1$, $q_2$, $c_1$, $c_2$ 4개가 있으며, 이후 이정표 업그레이드를 통해 $c_3$ 또한 업그레이드할 수 있다. 변수 개수에서 알겠지만, 다른 이론에 비해 변수의 개수가 상대적으로 적은 편이다. 후술하겠지만 절대로 장시간 방치형으로 플레이하지 말아야 하는 이론이다.

본격적인 이론 분석에 들어가기에 앞서 로지스틱 함수에 대해 간단히 알아보자. 로지스틱 함수은 생태학에서 생물의 개체수 변화 등을 표현하기 위한 수학적 모델 중 하나로, 방정식으로 표현하면 미분방정식의 형태이다. 로지스틱 함수를 그래프로 그려보면 생명과학1에서 나오는 'S자 곡선'의 형태로 나온다. 로지스틱 함수를 방정식으로 표현한 형태인 로지스틱 방정식은 현실적인 개체 수의 변화를 설명하기 위해 도입된 수학적 모델로, 다음의 3가지 조건을 모두 충족시킨다.

$K$를 환경 수용력[11], $r$을 개체 증가율, $N$을 개체 수라 하자. 이때 개체 수의 변화율 $\dfrac{dN}{dt}$에 대하여 아래의 방정식이 성립한다.
$\dfrac{dN}{dt}=rN(\dfrac{K-N}{K})$

먼저 로지스틱 함수 이론의 계산식은 다음과 같다. 아래 수식에서 $q$는 현재 틱에서의 q값을 의미한다. 참고로 계산식 아래의 가장 밑의 공간에는 작고 반투명하게 $q$의 현재 값이 나와 있다.

위에서 언급했던 로지스틱 방정식에서 $\dfrac{dN}{dt}$를 $\dot q$로, $r$을 $c_1/c_2$로, $N$을 $q$로, $\dfrac{K-N}{K}$를 $\dfrac{c_3-q}{c_2}$로 바꾸면 로지스틱 함수 이론의 계산식이 된다는 것을 알 수 있다. 즉 해당 이론의 계산식 중 q에 관한 식은 특정 종의 현재 개체수에 관한 식으로 해석할 수 있다는 것을 의미한다.[12] 결국 $q$의 값은 로지스틱 함수 형태로 S자 곡선을 그리며 증가하기 때문에, 이 이론이 최고 효율을 보일 때에는 q의 값이 급격하게 증가하는 상태를 유지할 때이다.

로지스틱 함수의 변수는 총 5개로, 4~5개의 변수에 의해 ρ의 값이 변화한다. 각 변수의 레벨을 $n$이라 할 때, 각각 다음의 특징을 갖는다.

한편, 로지스틱 함수 이론에서의 이전 출판의 τ의 값을 $\bar \tau_5$라 하면, τ값에 따른 증폭 배율 공식은 $\bar \tau_5^{0.159}$를 따른다. 또한 로지스틱 함수 이론에서의 이정표 업그레이드는 총 6단계로, τ값이 1.00e150에 도달하면 가장 높은 이정표에 도달할 수 있다. 이정표 업그레이드의 목록은 아래와 같다.

로지스틱 함수 이론의 이정표는 2번째 -> 1번째(3개) -> 3번째(2개) 순으로 진행하는 것이 효율이 최대가 된다고 한다. 또한 해당 이론의 최적의 증폭 비율은 대략 초반(τ값이 1.00e25가 되기 전까지)에는 3배 내외, 이후로는 6~10배 내외 정도라고 한다.

이 이론은 실제 증가가 로지스틱 함수에 가깝기 때문에, 초반에는 진행 속도가 상당히 느린 편이다. 하지만 τ값이 점차 증가할수록, 기존에 느리게 진행되었던 부분이 점점 빠르게 진행이 되면서 중후반에는 τ값이 1.00e500을 넘기 전까지는 다른 이론들과 달리 가장 빠르게 진행된다. 특히 이 이론의 증폭 배율이 비효율적으로 변하는 속도가 특정 시점 이전까지는 다른 이론들 중 가장 느리다는 점에서, 해당 이론을 게임에 접속한 상태에서 플레이할 경우에는 다른 이론에 비해 더욱 효과적인 결과를 볼 수 있다. 하지만 이 이론을 방치형으로 플레이하는 경우에는 180도 효과가 달라진다! 이상적인 증폭 비율을 조금 넘어가는 시점까지는 최고까지는 아니더라도 차선책 수준의 효과가 나지만, 만약 그 시점을 넘기게 된다면 점화식 이론에서 바로 업그레이드를 구매하는 수준으로 피해가 커진다. 특히 이 현상은 밤중에 접속하지 않는 상황처럼 자리를 비우는 시간이 늘어날수록 점점 심해진다. 따라서 한밤중과 같이 몇 시간 이상 자리를 비워야 하는 상황이라면 차라리 미분방정식같은 이론으로 돌려놓기를 권한다. 2번째로 증가 속도가 빠른 이론을 버리고 싶은가?

5번째 이론을 해금한 후, 학생 5명으로 해금할 수 있는 이론. 직전 이론인 로지스틱과는 달리 방치형 플레이에 최적화된 이론이다. 이론 후반부에 들어서부터는 밤늦게와 같이 몇시간 이상 자리를 비워야 하는 경우 미리 해당 이론을 설정해두어 작동하도록 두는 것이 효율이 매우 좋은 편이다. 기본 변수로는 $q_1$, $q_2$, $c_1$, $c_2$, $c_3$ 5개가 있으며, 이후 이정표 업그레이드를 통해 $r_1$, $r_2$, $c_4$, $c_5$ 또한 업그레이드할 수 있다.

이론을 대하는 방법은 매우 단순한 편이지만, 분석하는 것은 상당히 깊은 수준으로 들어간다. 일단 분석에 들어가기 위해서는 정적분과 중적분에 대한 이해가 필요하다. 먼저 적분은 크게 부정적분(Indefinite Integral)과 정적분(Definite Integral)로 나뉘며, 이들 중 정적분은 닫힌 구간에서의 함수의 그래프 혹은 좌표축 따위로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 계산이다. 반면 '부정적분'은 미분 계산을 역으로 진행한 것으로 이를 역도함수로 부르기도 한다. 함수 $f(x)$의 역도함수를 $F(x)$라 하자. 이때 닫힌구간 $[a, b]$에서 함수 $f(x)$의 정적분을 계산할 때 아래의 수식이 성립한다.
$\displaystyle \int_a^b f(x) \,dx=F(a)-F(b)=\biggl[ F(x) \biggl]_a^b$

정적분 예시 [펼치기 · 접기]

$f(x)=ax+b$라 하자. 이때 다항함수 $y=x^n$을 $x$에 대하여 미분하면 $\dot y=nx^{n-1}$이 되므로, 해당 연산을 역산으로 진행하면 역도함수를 구할 수 있다. 이를 통해 $f(x)$의 역도함수를 구하면 $F(x)=\dfrac {1}{2}ax^2+bx$를 얻을 수 있다. 따라서 $x$에 대하여 닫힌구간 $[0, t]$에서의 정적분의 값은 다음과 같다.
$\displaystyle \int_0^t f(x) \,dx=\displaystyle \int_0^t (ax+b) \,dx=\biggl[ \dfrac{1}{2}ax^2+bx \biggl]_0^t=\dfrac {1}{2}at^2+bt$

한편 중적분은 정적분의 개념을 확장하여 독립변수가 2개 이상인 다변수함수를 적분하는 것을 의미하며, 기호 $\iint$는 흔히 3차원 공간 상에서 정의된 이변수함수 $z=f(x, y)$를 적분할 때 사용된다. 이때 중적분은 일반적으로 반복적분(Iterated Integrals)와는 완전히 다른 개념이지만 특수한 조건에서는 중적분 역시 반복적분 형태의 1차원 적분으로 변환해줄 수 있다. 이 상황에서 사용할 수 있는 중적분의 계산 방법이 바로 푸비니 정리(Fubini's Theorem)이다. 이는 이변수함수 $z=f(x,y)$가 직사각형 영역 $R=\{(x,y)|a\le x\le b, c\le y\le d \}$에서 연속인 경우, $\displaystyle \iint_R f(x,y) \,dA=\displaystyle \int_a^b \int_c^d f(x,y) \,dy\,dx=\displaystyle \int_c^d \int_a^b f(x,y) \,dx\,dy$가 성립한다는 것이다. 참고로 푸비니 정리에 따라 중적분을 반복 1차원 적분으로 계산할 때, 편미분처럼 적분의 기준이 되는 변수를 제외한 나머지 변수는 모두 상수로 취급한다. 즉, $z=f(x,y)$ 이런 식으로 정의된 이변수함수를 적분할 때 푸비니 정리를 사용한다면, $x$에 대해 적분해줄 때에는 $y$는 상수로 취급한다는 뜻이다.

중적분 예시 [펼치기 · 접기]

직사각형 영역 R이 $R=\{(x,y)|0\le x\le 2, 1\le y\le 2 \}$으로 주어졌을 때, 중적분 $\displaystyle \iint_R (x-3y^2) \,dA$는 아래와 같이 2가지 방법으로 계산할 수 있다.

• y에 대하여 먼저 적분: $\displaystyle \iint_R (x-3y^2) \,dA=\displaystyle \int_0^2 \int_1^2 (x-3y^2) \,dy\,dx=\displaystyle \int_0^2 \biggl[ xy-y^3\biggl]_{y=1}^{y=2} \,dx=\displaystyle \int_0^2 (x-7)\,dx=\biggl[ \dfrac{x^2}{2}-7x \biggl]_0^2=-12$
• x에 대하여 먼저 적분: $\displaystyle \iint_R (x-3y^2) \,dA=\displaystyle \int_1^2 \int_0^2 (x-3y^2) \,dx\,dy=\displaystyle \int_1^2 \biggl[ \dfrac{x^2}{2} -3xy^2\biggl]_{x=0}^{x=2}\,dy=\displaystyle \int_1^2 (2-6y^2)\,dy=\biggl[ 2y-2y^3 \biggl]_1^2=-12$

먼저 적분 이론의 계산식은 다음과 같다. 아래 수식에서 $q,\,r$은 각각 현재 틱에서의 q값과 r값을 나타낸다. 참고로 계산식 아래의 가장 밑의 공간에는 작고 반투명하게 $q$, $r$, $C$의 현재 값이 나와 있다. 또한, 적분 이론에서는 항상 $\dot q=q_1q_2$와 $\dot r=r_1r_2/1000$가 성립하며, $\dot q$와 $\dot r$은 각각 q값과 r값이 다음 틱에서 얼마나 증가할지를 나타낸다.

참고로 위 수식에서 $\bar q$와 $\bar r$은 q와 r의 켤레값이 아니라, 적분 변수를 의미한다.[18] 다르게 말하자면, 차원 확장 전 수식에서는 함수 $f(\bar q)$, 확장 후 수식에서는 이변수함수 $g(\bar q,\,\bar r)$에 대한 적분식을 표현한 것이다. 쉽게 말해, 일반적인 함수 $f(x)$, 이변수함수 $g(x,\,y)$와는 다른 변수에 대하여 함수를 정의했다는 뜻. 또한, 위 수식에서 $C$는 변수 업그레이드를 진행할 때마다 값이 증가하며, 유저들은 이를 '변수 구매 가격'과 비슷한 값으로 추정하고 있다.[19]

적분 이론의 변수는 총 9개로, 5~9개의 변수에 의해 ρ의 값이 변화한다. 각 변수의 레벨을 $n$이라 할 때, 각각 다음의 특징을 갖는다.

한편, 적분 이론에서의 이전 출판의 τ의 값을 $\bar \tau_6$이라 하면, τ값에 따른 증폭 배율 공식은 $\dfrac{\bar \tau_6^{0.196}}{50}$을 따른다. 또한 적분 이론에서의 이정표 업그레이드는 총 6단계로, τ값이 1.00e150에 도달하면 가장 높은 이정표에 도달할 수 있다. 이정표 업그레이드의 목록은 아래와 같다.

적분 이론부터는 기존에 진행한 이정표 업그레이드를 빼서 다른 업그레이드를 구매하는 것이 아예 빼지 않고 순서대로 업그레이드를 진행하는 것보다 더 효율적이다. 적분 이론의 이정표는 2번째 -> 1번째 -> 3번째 -> 4번째 3개(2, 3번째 빼서 4번째에 넣기) -> 3번째 -> 2번째 순으로 진행하는 것이 효율이 최대가 된다고 한다. 또한 해당 이론의 최적의 증폭 비율은 정확하게 알려진 바는 없으나, 다른 이론에 비해 값이 큰 편으로 대략 7~12배 정도라고 한다.

6번째 이론을 해금한 후, 학생 5명으로 해금할 수 있는 이론. 해당 이론부터는 슬슬 정밀하게 분석하는 것이 매우 어려워진다. 수치해석학 이론은 초기 수식과 최종 수식이 가장 크게 차이나는 이론 중 하나이다. 기본 변수로는 $q_1$, $c_1$, $c_2$ 겨우 3개(...) 이후 이정표 업그레이드를 통해 $c_3$, $c_4$, $c_5$, $c_6$ 또한 업그레이드할 수 있다. 또한 선형대수학 이론과 더불어 $\rho$가 여러 개가 존재하는 이론으로, 초반에는 이론 재화가 $\rho_1$ 1개 뿐이지만, 차원을 확장하면 $\rho_2$까지 2개의 이론 재화가 존재하게 된다. 따라서 수치해석학 이론에서의 τ값은 재화 $\rho_1$의 최댓값을 기준으로 한다.

수치해석학 이론을 정밀하게 분석하기 위해서는 먼저 벡터와 그라디언트(Gradient) 등의 벡터미적분학의 기본적인 요소들에 대한 이해가 필요하다. 먼저 벡터는 수학적으로는 '벡터공간의 원소'로 정의되나, 수치해석학 이론에서의 벡터는 유클리드 기하학에서의 벡터로, 흔히 알려져 있는 크기와 방향을 모두 가지는 양이라는 정의를 가진다. 수치해석학 이론에서는 고등학교에서의 화살표 표기법이 아닌 볼드체로 벡터를 표기한다. (예시: $\boldsymbol{\rho}$) 한편 수치해석학 이론에서 $\boldsymbol{\rho}=[\rho_1\,\,\,\rho_2]$ 이런 식의 표현을 볼 수 있는데, 이는 벡터 $\boldsymbol{\rho}$가 점 $(\rho_1,\,\rho_2)$ 방향을 향한다는 의미이다. 다음으로 그라디언트, 또는 기울기벡터(Gradient)는 스칼라 함수의 변화량을 알기 위해 사용되는 벡터 함수로, 스칼라장의 최대의 증가율을 나타내는 벡터장을 의미한다. 이변수함수 $f(x,\,y)$의 그라디언트는 벡터 함수 $\boldsymbol{\nabla}f(x,\,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}$의 형태로 정의된다.[20]

한편, 수치해석학 이론의 수식은 Maximization Problem으로 해석될 수 있다. 차원 확장 이전에도 2차원 상에서 해당 문제를 풀이한다는 방식으로 해석은 가능하나, 빠른 이해를 위해 이정표를 모두 찍은 시점을 기준으로 서술한다. 모든 이정표 업그레이드를 진행한 후에는 식의 항이 1개에서 5개로 증가하며, 함수 역시 3차원 상에서 정의된 이변수함수로 정의되며 해당 함수는 표면을 나타낸다. 여기서 'Maximization Problem'은 3차원 공간 $\mathbb{R}^3$에서 정의된 이변수함수 $g(\rho_1,\,\rho_2)$가 나타내는 표면에 대하여 가장 가파른 경사면 방향에서 표면을 따라 이동할 때의 이변수함수의 z축 방향 최댓값을 찾는 것을 목표로 하는 문제이다. 이때 점 $(\rho_1,\,\rho_2,\,g(\rho_1,\,\rho_2))$는 해당 표면 위에 위치한 점이라 할 수 있다. 따라서 이 문제에서의 목표는 $g(\rho_1,\,\rho_2)$의 값이 최대가 되는 $(\rho_1,\,\rho_2)$를 찾는 것이라 할 수 있다.

하지만 해당 이변수함수는 $\rho_1 \ge 0,\,\rho_2 \ge 0$에서 정의되어서 'unbounded'하기 때문에, 정확하게 말하면 이변수함수의 적절한 최댓값을 찾을 수 없다. 따라서 엄밀하게는 이 'Maximization Problem'의 조건이 잘못 되었다고(ill-conditioned) 말한다. 이 상황에서 $g(\rho_1,\,\rho_2)$의 적절한 최댓값을 찾기 위해서는 $(\rho_1,\,\rho_2)$를 가장 가파른 경사면 방향으로 이동시키는 방법이 있다. 이는 $\boldsymbol{\dot \rho}$[21]를 $\nabla g(\rho_1,\,\rho_2)$[22] 방향으로 정하면 가능하다. 모든 이정표 업그레이드를 진행한 수식에서 $\rho_1$을 $x$로, $\rho_2$를 $y$로 정하자. 해당 수식에서 모든 항의 계수를 무시할 때, x축-y축-z축을 기준으로 하는 공간 $\mathbb{R}^3$에서의 이변수함수 $g$의 그래프는 아래 그림과 같다.



여기까지 설명해도 무슨 의미인지 모르겠다
먼저 수치해석학 이론의 계산식은 다음과 같다. 참고로 본 수식 위에 뜨는 식은 해당 이론이 'Maximization Problem'과 연관되어 있음을 나타내는 수식으로, 차원 확장 전에는 $\text{max}\,g(\rho_1)$로, 차원 확장 후에는 $\text{max}\,g(\rho_1,\,\rho_2)$로 나타난다. 또한 아랫쪽에는 τ값 기준식, $\boldsymbol{\rho}$의 방향 등에 관한 식을 나타내며, 처음 2개는 항상 $\tau_7=\text{max}\,\rho_1$, $\boldsymbol{\dot \rho}=q_1\nabla g$로 일정하다. 반면 3번째 식은 차원 확장 전에는 $\boldsymbol{\rho}=[\rho_1]$, 확장 후에는 $\boldsymbol{\rho}=[\rho_1\,\,\,\rho_2]$로 나타난다. 아래의 수식들은 모두 본 수식만을 나타낸다.

수치해석학 이론의 변수는 총 7개로, 각 변수의 레벨을 $n$이라 할 때, 각각 다음의 특징을 갖는다. 아래의 7개 변수는 모두 $\rho_1$로 구매할 수 있다. 즉, 엄밀하게는 $\rho_2$는 변수의 역할을 하지 재화까지는 아니다.

한편, 수치해석학 이론에서의 이전 출판의 τ의 값을 $\bar \tau_7$이라 하면, τ값에 따른 증폭 배율 공식은 $\tau_7^{0.152}$을 따른다. 또한 수치해석학 이론에서의 이정표 업그레이드는 총 7단계로, τ값이 1.00e175에 도달하면 가장 높은 이정표에 도달할 수 있다. 이정표 업그레이드의 목록은 아래와 같다.

수치해석학 이론의 이정표는 2번째 -> 3번째 -> 3번째(2번째 빼서 넣기, 1.00e69 무렵) -> 3번째 -> 2번째 -> 1번째(이후 5번째에서 2개 빼서 모두 1개씩 넣기) -> 5번째(2개) 순으로 진행하는 것이 효율이 최대가 된다고 한다. 또한 해당 이론의 최적의 증폭 비율은 대략 4~6배 정도라고 한다.

7번째 이론을 해금한 후, 학생 5명으로 해금할 수 있는 이론. 해당 이론에 학생 5명을 갈아넣으면 동원하면 20번째 스토리 챕터가 열람된다. 엔딩과 직결되는 수렴 판정 이론과 엔딩 후 콘텐츠인 커스텀 이론을 제외하면 마지막으로 열리는 이론임에도 불구하고 τ의 증가 속도가 심각하게 느린 이론이다. 어느 정도냐면, f(t)가 ee12k일 때 즉시 구매하면 τ값이 1.00e60에 도달할 때까지 무려 16시간(!)이나 걸릴 것으로 추정되고 있다.[약스포_및_공략] 변수로는 $c_1$, $c_2$, $c_3$, $c_4$, $c_5$ 5개가 있으며, 이들 모두 기본 변수에 해당한다.

혼돈 이론(Chaos Theory)에 관한 기본 정보는 일반인이 이해하기 상당히 어려운 내용이 매우 많으니 일단 넘어가도록 하자. 해당 이론은 다른 이론과는 차이점이 상당히 많은 편으로, 정리하자면 아래와 같다.

먼저 상단에 나오는 이론 수식과 그래프와 관련된 각 변수의 의미를 이해해 보자. 상단 화면의 중앙에는 재화 ρ에 관한 식을 비롯해 5개의 수식이 주어지며, 가장 아래쪽에는 작게 변수 $x$, $y$, $z$의 값이 얼마인지가 나온다. 그래프에서 흰색 부분으로 밝게 나타나는 부분을 커서(cursor)라 하면, 초기에 설정된 시선에서 x, y, z값은 마인크래프트와 비슷한 방식으로 변한다고 생각하면 편하다. 조금 더 자세하게 설명하자면, 로렌츠와 첸 상태에서 $x$값은 초기 시선 기준 가로축 방향으로 움직이며, 가운데 부분이 0이고 왼쪽으로 갈수록 값이 작아지며 오른쪽으로 갈수록 값이 커진다. $y$값은 초기 시선 기준 화면에 수직인 방향으로 움직이므로, 값의 변화를 확인하기 위해서는 그래프 시선을 옮겨줘야 한다. $z$값은 초기 시선 기준 세로축 방향으로 움직이며, 가장 윗부분이 0이고 아랫쪽으로 커서가 내려갈수록 값이 커진다. 한편, 뢰슬러 상태에서 $x$값은 앞에서 서술한 것과 동일하나, $y$값과 $z$값의 기준이 각각 세로축[26], 화면에 수직인 방향으로 바뀐다. 이렇게 그려지는 그래프는 실제 로렌츠 인자, 첸 인자, 뢰슬러 인자의 그래프와 동일한 형태로 그려진다. 그래프는 링크(로렌츠), 링크(첸), 링크(뢰슬러)에서 확인할 수 있다.

한편, 혼돈이론의 계산식은 다음과 같다. 먼저 재화 ρ에 관한 식을 정리하면 아래와 같다.

다음으로 혼돈이론의 재화 ρ에 관한 식을 보조하는 3개의 수식은 아래와 같다. 이때 $x$, $y$, $z$는 각각 현재 틱에서의 x, y, z값에 해당한다.